2019　鳥取大学　前期

(1)　$3$つの格子点の選び方は全部で何通りあるか．

(2)　(1)の組合せがすべて等しい確率で選ばれるとき，選ばれた$3$点が三角形をなす確率を求めよ．

(3)　(1)の組合せがすべて等しい確率で選ばれるとき，選ばれた$3$点が鈍角三角形をなす確率を求めよ．

$a_1=2\text{，}$$a_{n+1}-a_n=(1+{\displaystyle \frac{2}{n}})a_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　第$n$項$a_n$を$n$を用いて表せ．

(2)　初項$a_1$から第$n$項$a_n$までの和$S_n$を求めよ．

(3)　数列$\{b_n\}$を$b_n=(n+{\displaystyle \frac{1}{n}})a_n$によって定めるとき，この数列の初項$b_1$から第$n$項$b_n$までの和$T_n$を求めよ．

(1)　工場の利益を表す式を$p\text{，}$$q\text{，}$$x\text{，}$$y$を用いて表せ．

(2)　$(x,y)$が満たす条件を連立不等式を用いて表し，それらが表す領域を図示せよ．

(3)　$p=5\text{，}$$q=4$のとき，工場の利益を最大にする$(x,y)$を求めよ．

(4)　どちらか$1$種類の製品のみを生産することが工場の利益を最大にする場合，$p$が満たすべき条件を$q$を用いて表せ．

(1)　点$\mathrm{P}$が円周上の点$\mathrm{A}$から出発するとき，$t$秒後の三角形$\mathrm{ABP}$の面積を$t$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$が円周上の点$\mathrm{C}$$({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}a,{\displaystyle \frac{1}{2}}a)$から出発するとき，$t$秒後の点$\mathrm{P}$の$y$座標を$t$を用いて表せ．

(3)　(2)で求めた式のグラフをかけ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を，$m\text{，}$$n\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　$k={\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AD}}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AE}}}$とする．$k$が点$\mathrm{D}$の線分$\mathrm{AB}$上での位置によらず一定であるような$m$と$n$の関係を示し，そのときの$k$を求めよ．

(1)　曲線$C$を直交座標に関する方程式で表せ．

(2)　曲線$C$で囲まれた部分を$x$軸の周りに一回転してできる立体の体積を求めよ．

(3)　曲線$C$で囲まれた部分を$y$軸の周りに一回転してできる立体の体積を求めよ．

(1)　点$(t,f(t))$における接線の方程式を求めよ．

(2)　$f^{\prime }(0)={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$f(0)=0$のとき，$f^{\prime }(x)\text{，}$$f(x)$を求めよ．