2019　鳥取大学　後期工学部

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易□　並□　難□

・点 $P$ は初め頂点 $A$ にある．

・さいころを $1$ 回ふる毎に， $1$ の目が出れば動かず， $2$ の目が出れば反時計回りに隣り合う頂点に， $3$ の目が出れば時計回りに隣り合う頂点に， $4 ，$ $5 ，$ $6$ のいずれかの目が出れば対角線上にある頂点に，それぞれ移動する．

　さいころを $n$ 回ふったとき，点 $P$ が各点 $A ，$ $B ，$ $C ，$ $D$ にある確率をそれぞれ $a_{n} ，$ $b_{n} ，$ $c_{n} ，$ $d_{n}$ $（ n = 0 ，$ $1 ，$ $2 ，$ $\dots ）$ とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　 $a_{n + 1} ，$ $b_{n + 1} ，$ $c_{n + 1} ，$ $d_{n + 1}$ をそれぞれ $a_{n} ，$ $b_{n} ，$ $c_{n} ，$ $d_{n}$ を用いて表せ．

(2)　 $x_{n} = a_{n} + c_{n} ，$ $y_{n} = b_{n} + d_{n}$ とおくとき， $x_{n} ，$ $y_{n}$ $（ n = 0 ，$ $1 ，$ $2 ，$ $\dots ）$ をそれぞれ求めよ．

(3)　 $a_{n} ，$ $b_{n} ，$ $c_{n} ，$ $d_{n}$ $（ n = 0 ，$ $1 ，$ $2 ，$ $\dots ）$ をそれぞれ求めよ．

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易□　並□　難□

(1)　 $w^{2} + w + 1$ の値を求めよ．

(2)　三角形 $ABC$ が正三角形であれば， $a + w b + w^{2} c = 0$ が成り立つことを示せ．

(3)　任意の三角形 $ABC$ について，その外側に各辺を $1$ 辺とする正三角形 $CBD ，$ $ACE ，$ $BAF$ をつくり，それぞれの正三角形の重心を $X ，$ $Y ，$ $Z$ とする．このとき，三角形 $XYZ$ は正三角形であることを示せ．

(4)　(3)の三角形 $XYZ$ の重心は，三角形 $ABC$ の重心と一致することを示せ．

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易□　並□　難□

(1)　曲線 $C$ 上の点 $P$ $(t, t - \frac{1}{t})$ $（ t > 0 ）$ と直線 $l$ との距離 $f$ を $t$ と $k$ を用いて表せ．

(2)　点 $P$ が曲線 $C$ 上を動くとき，(1)で求めた距離 $f$ の最小値 $g$ を $k$ を用いて表せ．

(3)　実数 $k$ が $k > 1$ の範囲を動くとき，(2)で求めた $g$ の $2$ 乗の値 $g^{2}$ の最大値を求めよ．

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易□　並□　難□

(1)　円 $C^{'}$ の中心 $O^{'}$ が $θ$ だけ回転したとき，点 $B$ の座標 $(x, y)$ をそれぞれ $θ$ で表せ．

(2)　 $C$ の周りを $C^{'}$ が一回りして元の位置に戻るとき， $B$ が描く曲線の長さを求めよ．