2019　島根大学　前期MathJax

(1)　$2$次方程式$x^2+(a+1)x+(a^2-1)=0$が実数解をもつとき，$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　$2$次方程式$x^2+(a+1)x+(a^2-1)=0$が実数解をもつようなすべての$a$に対して，$2$次方程式$x^2+ax+(ab-1)=0$は必ず実数解をもつとする．このとき，$b$の値の範囲を求めよ．

(1)　$\mathrm{\angle APB}=\mathrm{\angle AQB}=120\mathrm{°}$を示し，さらに$\mathrm{\angle ABQ}$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．

(3)　線分$\mathrm{AP}\text{，}$$\mathrm{AQ}$の長さをそれぞれ$\theta$を用いて表せ．

(4)　点$\mathrm{P}$が${\mathrm{O}}_1$から$\mathrm{B}$まで動くとき，$\mathrm{▵APQ}$の面積の最大値を求めよ．

$I_1={\displaystyle {\int }_0^1}f(x)\mathit{dx}\text{，}$$I_2={\displaystyle {\int }_0^1}{\{f^{\prime }(x)\}}^2\mathit{dx}$

とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　不等式$4I_1\leqq I_2$が成り立つことを示せ．

(2)　$I_2$の最小値を求めよ．また，$I_2$が最小値をとるための条件を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(3)　$a\text{，}$$b$が$0<a<b$および(2)で求めた条件をみたすとき，$x$軸，$y$軸と曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積$S_1$と，$x$軸と曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積$S_2$が等しくなるような$a\text{，}$$b$の値を求めよ．

(1)　次の無限級数の和を求めよ．

${\displaystyle \frac{1}{1\cdot 5}}+{\displaystyle \frac{1}{3\cdot 5}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}}+\cdots$

(2)　数列$\{a_n\}$を

$a_n=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{(n+3)(n+5)}}& \text{（}n\text{が奇数のとき）}\\ {\displaystyle \frac{-1}{(n+4)(n+6)}}& \text{（}n\text{が偶数のとき）}\end{array}$

と定める．このとき，無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n$の和を求めよ．

${\displaystyle {\int }_a^x}f(t)\mathit{dt}={(\log x)}^2-2\log x-8$

が成り立っているとする．ただし，対数は自然対数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$を求めよ．

(2)　上の等式をみたす$a$をすべて求めよ．

(3)　$x>0$のとき，$\log x<\sqrt{x}$であることを示し，極限$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$を求めよ．

(4)　関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，そのグラフをかけ．

(1)　$\sqrt{{\displaystyle \frac{ab}{2}}}<b$を示せ．

(2)　$\mathrm{▵ABC}$の外接円の半径を$R$とするとき，次の等式が成り立つことを示せ．

$c(1-\cos B)-b(1-\cos C)=8R\sin {\displaystyle \frac{B}{2}}\sin {\displaystyle \frac{C}{2}}\sin {\displaystyle \frac{B-C}{2}}$

(3)　辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{M}$と辺$\mathrm{AC}$上の点$\mathrm{N}$を結ぶ線分$\mathrm{MN}$が$\mathrm{▵ABC}$の面積を$2$等分するとき，${\mathrm{MN}}^2\geqq bc(1-\cos A)$が成り立つことを示せ．

(4)　$\mathrm{▵ABC}$の周上の$2$点$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$を結ぶ線分$\mathrm{PQ}$で，$\mathrm{▵ABC}$の面積を$2$等分するとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値を$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いて表せ．

(1)　$4$つの数字$0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$9$を並べてできる$4$桁の正の整数は全部でいくつあるか．ただし，同じ数字を何度使ってもよいものとする．

(2)　$4$つの数字$0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$9$を並べてできる正の整数をすべて考えるとき，$1500$を初めて超えるのは小さい方から数えて何番目の数か．ただし，同じ数字を何度使ってもよいものとする．

(3)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$はそれぞれ$0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$9$のいずれかの値をとるとし，同じ値をとってもよいものとする．放物線$y=x^2+2ax+b$と直線$y=2cx+d$が共有点を持つような組$(a,b,c,d)$は全部でいくつあるか．

$a_1=2\text{，}$$b_1=2\text{，}$

$a_{n+1}=a_n+{\displaystyle \frac{b_n}{4}}\text{，}$$b_{n+1}=a_n+b_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_{n+1}+\alpha b_{n+1}=\beta (a_n+\alpha b_n)$をみたす実数$\alpha \text{，}$$\beta$の$2$つの組$({\alpha }_1,{\beta }_1)$と$({\alpha }_2,{\beta }_2)$を求めよ．ただし，${\alpha }_1<{\alpha }_2$とする．

(2)　(1)で求めた${\alpha }_1$に対して，数列$\{a_n+{\alpha }_1{b}_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．

(4)　座標平面において$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(1,-{\displaystyle \frac{1}{2}})\text{，}$$C_n$$(a_n,b_n)$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{C}}_n}$をベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{C}}_n}$の内積とするとき，次の和を求めよ．

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{C}}_n}$