2019　島根大学　後期総合理工学部MathJax

(1)　$d(1323)$を求めよ．

(2)　$d(n)=12$であるような最小の正の整数$n$を求めよ．

(3)　$p$を素数とする．正の整数$n$に対して$d(pn)\leqq 2d(n)$であることを示せ．

(1)　$\mathrm{▵ABC}$の面積を求めよ．

(2)　$\mathrm{▵ACD}$の内接円の半径を求めよ．

(3)　四角形$\mathrm{AOCD}$の面積を求めよ．

$a_1=e\text{，}$$\log a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2\log (a_1{a}_2\cdots a_n)}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$

(1)　次の値を求めよ．

${(\log {\displaystyle \frac{a_1}{e}})}^2+{(\log {\displaystyle \frac{a_2}{e}})}^2+{(\log {\displaystyle \frac{a_3}{e}})}^2$

(2)　すべての自然数$n$に対し，

${(\log (a_1{a}_2\cdots a_n))}^2$$-({(\log a_1)}^2+{(\log a_2)}^2$$+\cdots$$+{(\log a_n)}^2)$$=n-1$

が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ．

(3)　すべての自然数$n$に対し，次の値は有理数の平方であることを示せ．

${(\log {\displaystyle \frac{a_1}{e}})}^2+{(\log {\displaystyle \frac{a_2}{e}})}^2+\cdots +{(\log {\displaystyle \frac{a_n}{e}})}^2$

(ⅰ)　すべての正の実数$x\text{，}$$y$に対して$f(xy)=xf(y)+yf(x)$が成り立つ．

(ⅱ)　$f^{\prime }(1)=1$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(1)$の値を求めよ．

(2)　$f^{″}(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$であることを示せ．

(3)　$f(x)$を求めよ．