2019　島根大学　推薦I総合理工（数理科学科）学部MathJax

2019　島根大学　推薦I総合理工（数理科学科）学部

易□　並□　難□

(1)　 $▵ABC$ と点 $P$ が， $2 \vec{PB} + 3 \vec{PC} = \vec{AP}$ を満たしている．このとき，面積の比 $▵PBC : ▵PCA : ▵PAB$ を求めよ．

(2)　 $▵ABC$ で $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = \vec{BC} \cdot \vec{CA} = \vec{CA} \cdot \vec{AB}$ が成り立つとする．このとき， $▵ABC$ はどんな三角形か．

(3)　空間内に $4$ 点 $O ，$ $A ，$ $B ，$ $C$ がある． $\vec{OA} ⊥ \vec{BC} ，$ $\vec{OB} ⊥ \vec{CA}$ ならば， $\vec{OC} ⊥ \vec{AB}$ となることを示せ．

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$S_{n} = n (n + 1) (n + 2) \dots (n + 11)$

であるとき，次の問いに答えよ．

(1)　すべての自然数 $n$ に対し，次の等式をみたす数 $c$ を求めよ．

$\frac{c}{n (n + 1) (n + 2) \dots (n + 10)}$

$= \frac{1}{n (n + 1) (n + 2) \dots (n + 9)}$ $- \frac{1}{(n + 1) (n + 2) (n + 3) \dots (n + 10)}$

(2)　一般項 $a_{n}$ を求めよ．

(3)　すべての自然数 $n$ に対し，次の不等式が成り立つことを示せ．

$\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{a_{k}} < \frac{1}{120 \times 10!}$

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1．次の関数を微分せよ．

(a)　 ${(x^{2} - x + 1)}^{4}$ (b)　 $\sqrt{3 + \cos x}$

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2．次の不定積分を求めよ．

(a)　 $\int {(\sin x)}^{2018} \cos x dx$ (b)　 $\int \frac{1}{x^{2} - 4} dx$

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(a)　 $f (x)$ の増減と凹凸を調べ，グラフの概形を描け． $\lim_{x \to + 0} x \log x = 0$ であることを用いてよい．

(b)　点 $(0, - e)$ から曲線 $y = f (x)$ に引いた接線 $l$ の方程式を求めよ．