2019　島根大学　推薦I総合理工（知能情報デザイン学科）学部MathJax

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易□　並□　難□

【１】　ジョーカーを除く，トランプのカードの数字や $J$ （ジャック）， $Q$ （クイーン）， $K$ （キング）， $A$ （エース）の印刷されている面を表，そうでない面を裏とする．表１のように，赤と黒のカードの状態を $0$ から $3$ の整数で表す．カードの組は，中括弧 $（ {} ）$ で囲み，その組のカードの並びを上から順にカンマ $（, ）$ 区切りで示す．例えば， ${0, 3, 2, 1}$ は $4$ 枚のカードが上から順に赤の表，黒の裏，赤の裏，黒の表のように重なっている組である． ${}$ はカードを含まない空の組とする．カードには表２の操作を行うことができる．以下の問に答えよ．

表１．カードの値

＼	表	裏
赤	$0$	$2$
黒	$1$	$3$

表２．カード操作

記法	操作	例
$get (A, B, n)$	組 $A$ の上から $n$ 枚のカードを取り，組 $B$ の上に置く． $n$ が $- 1$ のとき，または $n$ が $A$ の枚数を超えているときは，組 $A$ のカードをすべて組 $B$ の上に置く．	$A = {0, 1, 2, 3} ，$ $B = {3}$ のとき， $get (A, B, 2)$ の結果， $A = {2, 3} ，$ $B = {0, 1, 3}$ となる．
$flip (A)$	組 $A$ のカードを重ねたままひっくり返す．	$A = {0, 1, 2, 3}$ のとき， $flip (A)$ の結果， $A = {1, 0, 3, 2}$ となる．
$split (A, B)$	組 $A$ から偶数枚目のカードを抜き取り，組 $B$ とする．操作前の組 $B$ は空でなければならない．	$A = {0, 1, 2, 3} ，$ $B = {}$ のとき， $split (A, B)$ の結果， $A = {0, 2} ，$ $B = {1, 3}$ となる．
$cut (A, n)$	組 $A$ の上から $n$ 枚のカードを取り，組 $A$ の下に置く． $n$ が $A$ の枚数を超えている場合は，カードの順は変化しない．	$A = {0, 1, 2, 3}$ のとき， $cut (A, 2)$ の結果， $A = {2, 3, 0, 1}$ となる．
$\to$	複数の操作を連続して行う．	$A = {0, 1, 2, 3}$ のとき， $flip (A) \to flip (A)$ の結果， $A = {0, 1, 2, 3}$ となる．

(a)　 $X = {2, 3, 2, 3, 2, 3} ，$ $Y = {}$ のカードの組がある．これらに対し，以下の操作を行うと，組 $X$ は $0$ と $3$ のみ，つまり「表のカードはすべて赤，裏のカードはすべて黒」となる．1)から5)における組 $X$ と組 $Y$ を示せ．

get (X, Y, 2) \overset{1)}{\to}

flip (Y) \overset{2)}{\to}

get (Y, X, - 1) \overset{3)}{\to}

split (X, Y) \overset{4)}{\to}

flip (X) \overset{5)}{\to}

get (Y, X, - 1)

(b)　 $1$ 枚以上のカードを持つ任意の組 $A$ に対する操作 $cut (A, n)$ を何回かの $get$ 操作の組合せで表せ． $n$ は正の整数とする．

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【２】　自然数全体の集合を $N$ とする．すなわち $N = {1, 2, 3, 4, \dots}$ である．いま， $a \in N ，$ $b \in N$ として， $a$ が $b$ を割り切るとき $a | b$ と書く．すなわち $a | b$ とは， $b = a \times k$ となる自然数 $k$ が存在することである．

　ここで自然数の組 $(a, b)$ において， $a | b$ または $b | a$ が成り立つときに $(a, b) \in A$ となる集合 $A$ を定義する．すなわち $A$ は $a | b$ または $b | a$ であるすべての自然数の組 $(a . b)$ を要素とする集合である．このとき，以下の問に答えよ．

(a)　 $(9, x) \in A$ となる自然数 $x$ を小さいものから $5$ つ求めよ．

(b)　すべての自然数の組 $(a, b)$ について，「 $(a, b) \in A$ であれば，かならず $(b, a) \in A$ である」ことを証明せよ．

(c)　「 $(a, b) \in A$ かつ $(b, c) \in A$ であれば，かならず $(a, c) \in A$ である」という主張は正しいか，正しければそれを証明し，正しくなければ反例をあげよ．

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【３】　次の $4$ つの手順によりアルゴリズムを定義する．

１.　 $x ≧ y$ である $2$ つの正整数 $x ，$ $y$ を入力とする．

２.　 $x$ を $y$ で割った余りを $z$ とする．

３.　 $x$ が $0$ のとき， $y$ を出力して終了する．

４.　現在の $y$ の値を新たに $x$ とし，現在の $z$ の値を新たに $y$ として手順２へ戻る．

このとき，以下の問に答えよ．

(a)　 $x = 186 ，$ $y = 48$ のとき，アルゴリズムの出力結果を求めよ．ただし，計算過程も述べよ．

(b)　 $x = 6848 ，$ $y = 2640$ のとき，アルゴリズムの出力結果を求めよ．ただし，計算過程も述べよ，

(c)　一般的に，入力した値 $x ，$ $y$ とアルゴリズムの出力結果にはどのような関係があるのか述べよ．

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【４】　いびつな形のコインがある．このコインでコイン投げ試行を $40$ 回行ったところ以下の結果を得た．

裏裏表裏表表表裏表裏表裏表表表裏表表裏表

裏表表表裏表裏表表表裏表表裏表裏表裏表裏

(a)　この $40$ 回の試行でコインの表と裏が出るそれぞれの確率を求めよ．

(b)　このコインでゲームを行う．プレイヤーは持ち点から自由に表か裏かを賭け，その面が出れば賭けた点と同じ点を貰えるが，逆であったら没収される．例えば， $1$ 回のゲームでプレイヤーが表に $100$ 点賭け，表が出た場合には，賭け点の $100$ 点が戻り，さらに同点の $100$ 点を受け取る事が出来る．逆に裏が出た場合には賭け点の $100$ 点が没収される．いま，持ち点が $1000$ 点あり， $10$ 回のゲームをするとき，あなたはどのような賭け方をするか．賭け方と期待される結果を示しなさい．

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