2019　広島大学　後期

【１】　複素数$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$が表す複素数平面上の点を，それぞれ，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$とし，複素数平面の原点を$\mathrm{O}$で表す．ただし，$\mathrm{A}\ne \mathrm{B}\text{，}$$A\ne \mathrm{O}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　方程式${\displaystyle \frac{z}{\alpha }}+{\displaystyle \frac{\bar{z}}{\bar{\alpha }}}=1$を満たす複素数$z$が表す点の複素数平面上の軌跡は，線分$\mathrm{OA}$の垂直二等分線であることを示せ．

(2)　$\left|\alpha \right|=\left|\beta \right|=1$とする．複素数平面上において，直線$\mathrm{AB}$上の点を表す複素数$z$は，方程式$z+\alpha \beta \bar{z}=\alpha +\beta$を満たすことを示せ．

(3)　$\left|\alpha \right|=\left|\beta \right|=1$とする．複素数平面上において，点$\mathrm{C}$を通り直線$\mathrm{AB}$に垂直な直線上の点を表す複素数$z$は，方程式$z-\alpha \beta \bar{z}=\gamma -\alpha \beta \bar{\gamma }$を満たすことを示せ．

【２】　座標平面上を運動する点$\mathrm{P}(x(t),y(t))$の座標が，次のように与えられているとする．

$(x(t),y(t))=(F(t)\cos t,F(t)\sin t)$

ここで，$F(t)={\displaystyle {\int }_0^t}{e}^{\theta }\sin \theta d\theta$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$t=0\text{，}$$t={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\text{，}$$t={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$における点$\mathrm{P}$の座標をそれぞれ求めよ．

(2)　$0<t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，$x(t)>0\text{，}$$y(t)>0\text{，}$${\displaystyle \frac{dy(t)}{dt}}>0$であることを示せ．

(3)　変数$t$が$0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くとき$\mathrm{P}$によって描かれる曲線と，$y$軸によって囲まれる図形の面積は，次の定積分

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}x(t){\displaystyle \frac{dy(t)}{dt}}dt$

の値と等しいことを示せ．

【３】　座標平面上の点$\mathrm{A}(1,2)$と点$\mathrm{B}(-1,-2)$からの距離の差が$2$であるように動く点が描く双曲線を$C$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　変数$t$を実数として，$x$軸上の点$\mathrm{Q}(t,0)$を考える．線分$\mathrm{AQ}$の長さと線分$\mathrm{BQ}$の長さの差を$g(t)$とする．極限値

$\underset{t\to \infty }{\lim }g(t)$

を求めよ．

(2)　双曲線$C$の方程式を求めよ．ただし，答えは

$a{x}^2+bxy+c{y}^2+dx+ey+f=0$

（$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d\text{，}$$e\text{，}$$f$は実数）の形に書くこと．

(3)　方程式$y=mx$で表される直線と，双曲線$C$が共有点を持つような実数$m$の範囲を求めよ．

【４】　各自然数$n$に対して，初項$n-1\text{，}$公差$2$の等差数列を考える．この等差数列の最初の$n$項の和を$a_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$a_n$を$n$の式として表せ．

(2)　自然数$k\geqq 1$に対して，数列$\{a_n\}$の和

$S(k)={\displaystyle \sum _{n=1}^k}{a}_n$

を$k$の式として表せ．

(3)　$S(k)$を(2)で定めた和とする．次の等式

$\underset{m\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{\log m}}{\displaystyle \sum _{k=2}^m}{\displaystyle \frac{k^2}{S(k)}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$

を示せ．

【５】　一つの目が赤，もう一つの面が黒に塗られたカード$1$枚が，赤い面を上にして置いてある．また，点$\mathrm{Q}$は数直線上の原点にある．カード面の色に応じて，次の操作を繰り返し行う．

・カードが赤い面を上にして置かれているとき，表の出る確率が${\displaystyle \frac{1}{10}}$のコインを投げる．コインの表が出ればカードをひっくり返し，点$\mathrm{Q}$を正の方向に$1$動かす．コインの裏が出ればカードはそのままにして，点$\mathrm{Q}$は動かさない．

・カードが黒い面を上にして置かれているとき，表の出る確率が${\displaystyle \frac{2}{5}}$のコインを投げる．コインの表が出ればカードをひっくり返し，点$\mathrm{Q}$は動かさない．コインの裏が出ればカードはそのままにし，点$\mathrm{Q}$を負の方向に$1$動かす．

上記のいずれの操作においても，コインを投げるときコインの表が出るか裏が出るか，必ずどちらか一方が起こるものとする．以下の問いに答えよ．

(1)　自然数$n$に対し，上の操作を$n$回繰り返した後，カードが赤い面を上にして置かれている確率を$P_n$とする．$P_{n+1}$を$P_n$を用いて表せ．

(2)　$P_n$を(1)で定めた確率とする．$P_n$を$n$を用いて表し，極限値

$\underset{n\to \infty }{\lim }{P}_n$

を求めよ．

(3)　上の操作を$2$回繰り返した後，点$\mathrm{Q}$が原点にある確率を求めよ．

(4)　上の操作を$2$回繰り返した後，点$\mathrm{Q}$が原点にあるとする．この条件のもとで，カードが赤い面を上にして置かれている確率を求めよ．