2019　広島大学　後期理学部物理学科

【１】　以下の問い（問１〜３）に答えよ．

問１　複素数に関する以下の問いに答えよ．ただし，$i$は虚数単位とする．

(1)　複素数$z=x+iy$（$x\text{，}$$y$は実数）の共役複素数を$\bar{z}$とする．$x$と$y$を$z$と$\bar{z}$を用いて表せ．

(2)　問(1)の複素数$z$の絶対値を$x$と$y$を用いて表せ．

(3)　方程式$z^3=8$の$3$つの解を求めよ．

(4)　任意の自然数$n$に対して次式が成り立つことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．

$\cos n\theta +i\cos n\theta ={(\cos \theta +i\sin \theta )}^n$

【１】　以下の問い（問１〜３）に答えよ．

問２　以下の定積分を計算せよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_0^1}{e}^{-x}dx$

(2)　${\displaystyle {\int }_0^1}x{e}^{-x}dx$

(3)　${\displaystyle {\int }_0^1}x{e}^{-x^2}dx$

【１】　以下の問い（問１〜３）に答えよ．

問３　点$\mathrm{P}$の位置ベクトルの成分$x\text{，}$$y\text{，}$$z$が時刻$t$を媒介変数として

$x(t)=t^3+t$

$y(t)=\sqrt{3}{t}^2$

$z(t)=2\sqrt{2}t$

で表されている．

(1)　時刻$t$における点$\mathrm{P}$の速度ベクトル$\overrightarrow{v}$の成分と大きさを求めよ．

(2)　時刻$t$における点$\mathrm{P}$の加速度ベクトル$\overrightarrow{a}$の成分と大きさを求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}$が時刻$t=0$から$t=1$までに移動した道のり（軌道の長さ）$s$を求めよ．