2019　広島大学　AO入試理学部数学科

【１】　$p$を正の実数とし，数列$\{a_n\}$を

$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=p{a}_n+p-1$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$

により定める．以下の問いに答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　次の条件(A)を満たす$p$の範囲を求めよ．

(A)　$n\geqq 100$を満たすすべての自然数$n$に対し，$a_n<0$が成り立つ．

【２】　$\beta$は$\left|\beta \right|=1$を満たす複素数とする．$t$が実数全体を動くとき，複素数平面において点$z_1=t(1+i)\beta +4i$が描く図形を$L$とする．また，複素数平面において点$w$が原点を中心とする半径$1$の円周上を動くとき，点$z_2={\displaystyle \frac{w+4}{w-2}}$が描く図形を$C$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$\beta ={\displaystyle \frac{1}{5\sqrt{2}}}(7+i)$のとき，$L$を図示せよ．

(2)　$C$を求めよ．

(3)　$\beta$が$\left|\beta \right|=1$および次の条件(K)を満たすように動くとき，$\beta$の実部$b$のとり得る値の範囲を求めよ．

(K)　$L$と$C$は共有点をもつ．

【３】　$s$と$t$は実数で，$t$は$t\geqq 0$を満たすとする．座標空間において，点$\mathrm{P}$$(2s,1+s^2,1)$を考える．また，原点$\mathrm{O}$を通り，ベクトル$\overrightarrow{n}=(t,t,1)$に垂直な平面を$\alpha$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$は平面$\alpha$上にないことを示せ．

(2)　点$\mathrm{P}$から平面$\alpha$に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}$とする．このとき，${\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|}^2$を$s$と$t$を用いて表せ．

(3)　$s$は$-1\leqq s\leqq 0$の範囲を動き，$t$は$t\geqq 0$の範囲を動くとする．このとき，(2)の点$\mathrm{Q}$に対し，

${\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|}^2\leqq {\displaystyle \frac{3}{2}}$

が成り立つことを示せ．さらに，

${\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|}^2={\displaystyle \frac{3}{2}}$

を満たす組$(s,t)$をすべて求めよ．

【４】　数列$\{J_n\}$を

$J_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle {\int }_{a_k}^{b_k}}{\displaystyle \frac{{\sin }^{2}x}{x}}\mathit{dx}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$

により定める．ただし，$k=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$に対し，$a_k$と$b_n$はそれぞれ次で定義されているものとする．

$a_k=({\displaystyle \frac{1}{4}}+k)\pi \text{，}$$b_k=({\displaystyle \frac{3}{4}}+k)\pi$

以下の問いに答えよ．

(1)　$k=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$に対し，

${\displaystyle {\int }_{a_k}^{b_k}}{\displaystyle \frac{{\sin }^{2}x}{x}}\mathit{dx}\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle {\int }_{a_k}^{b_k}}{\displaystyle \frac{1}{x}}\mathit{dx}$

が成り立つことを示せ．

(2)　$k=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$に対し，

$2{\displaystyle {\int }_{a_k}^{b_k}}{\displaystyle \frac{1}{x}}\mathit{dx}\geqq {\displaystyle {\int }_{a_k}^{a_{k+1}}}{\displaystyle \frac{1}{x}}\mathit{dx}$

が成り立つことを示せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{J}_n=\infty$が成り立つことを示せ．

【５】　箱$\mathrm{A}$には，$1\text{，}$$2\text{，}$$4\text{，}$$5$の数字が書かれたカードが$1$枚ずつの合計$4$枚のカードが入っている．また，箱$\mathrm{B}$には，$2$の数字が書かれたカードが$1$枚，$3$の数字が書かれたカードが$2$枚，$4$の数字が書かれたカードが$1$枚の合計$4$枚のカードが入っている．$p$は$0<p<1$を満たす実数とする．このとき，$\mathrm{X}\text{，}$$\mathrm{Y}\text{，}$$\mathrm{Z}$の$3$名で次のゲームを行う．

(手順１)$\mathrm{X}$は，箱$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$のいずれか一つを選び$\mathrm{Y}$に渡す．ここで，箱$\mathrm{A}$が選ばれる確率は$p\text{，}$箱$\mathrm{B}$が選ばれる確率は$1-p$である．

(手順２)$\mathrm{Y}$は，$\mathrm{X}$から受け取った箱から$2$枚のカードを同時に取り出し，その$2$枚のカードに書かれた数の和$M$を求める．そして，$\mathrm{Y}$は$\mathrm{Z}$に$M$の値を伝える．ただし，$2$枚のカードのどの組合せが出る事象も同様に確からしいとする．

(手順３)$\mathrm{Z}$は，$\mathrm{Y}$から聞いた$M$の値だけをもとに$\mathrm{X}$が選んだ箱を推測し，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$のいずれかを答えとして述べる．$\mathrm{Z}$の答えが$\mathrm{X}$の選んだ箱と一致するとき，その答えを正解とする．

以上の手順および$p$の値は，$\mathrm{X}\text{，}$$\mathrm{Y}\text{，}$$\mathrm{Z}$の全員が知っているものとする．また，$\mathrm{Z}$は，正解となる確率が大きい方の箱を答えとして述べるものとする．ただし，箱$\mathrm{A}$が正解となる確率と箱$\mathrm{B}$が正解となる確率が等しいときには，$\mathrm{Z}$は$\mathrm{A}$を答えとして述べるものとする．以下の問いに答えよ．

(1)　$p={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$M=7$である確率を求めよ．

(2)　$p={\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．$M=7$であるとき，$\mathrm{Z}$の答えを求めよ．また，それが正解である確率を求めよ．

(3)　一般の$p$$\text{（}0<p<1\text{）}$に対して，$M=5$であるとき，$\mathrm{Z}$の答えを求めよ．また，それが正解である確率を求めよ．