2019　広島大学　AO理学部物理学科

【１】　以下の問１と問２に答えよ．

問１　関数$f(x)=x^3+6x^2+11x+6$について次の(1)〜(3)に答えよ．

(1)　$3$次方程式$f(x)=0$を解け．ただし，$3$つの解は全て異なる実数である．

(2)　$y=f(x)$のグラフを描け．グラフと$x$軸や$y$軸との交点，グラフが極大極小値を取る点があれば，それらの座標について明示すること．

(3)　次の関数$g(x)$

$g(x)={\displaystyle \frac{1}{f(x)}}$

は次のような恒等式を満たす．

$g(x)={\displaystyle \frac{A}{x-\alpha }}+{\displaystyle \frac{B}{x-\beta }}+{\displaystyle \frac{C}{x-\gamma }}$

$A\text{，}$$B\text{，}$$C$を求めよ．ただし，$A\text{，}$$B\text{，}$$C\text{，}$$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$は定数で，$\alpha <\beta <\gamma$を満たすとする．

問２　次の(1)〜(3)に答えよ．

(1)　関数$f(x)=\sqrt{x^2+\sin (x)}$の導関数を求めよ．

(2)　和${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)}}$を求めよ．ただし，$n$は$n\geqq 1$の整数とする．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}{x}^2\cos (nx)\mathit{dx}$を計算せよ．ただし，$n$は$n\ne 0$を満たす整数とする．