2019　山口大学　前期MathJax

【１】　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．

$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=2+{\displaystyle \frac{3}{a_n}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$

次の問いに答えなさい．

(1)　$2$次方程式$x^2-2x-3=0$の$2$つの実数解$\alpha \text{，}$$\beta$を求めなさい．ただし，$\alpha >\beta$とする．

(2)　(1)で求めた$\alpha \text{，}$$\beta$に対して，$b_n={\displaystyle \frac{a_n-\alpha }{a_n-\beta }}$とおくとき，数列$\{b_n\}$は等比数列であることを示しなさい．

(3)　(2)で定めた数列$\{b_n\}$の一般項と数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．

【２】　次の問いに答えなさい．

(1)　不定方程式$9x+5y=1$の整数解を求めなさい．

【２】　次の問いに答えなさい．

(2)　$2$つの自然数$a$と$b$が互いに素であるとき，$3a+b$と$5a+2b$も互いに素であることを証明しなさい．

【３】　$0<a<\sqrt{3}$とし，$f(x)={\displaystyle \frac{x^2}{6}}\text{，}$$g(x)=-{\displaystyle \frac{x^2}{6}}+1$とする．曲線$y=f(x)$の点$\mathrm{A}$$(a,f(a))$における接線を$l\text{，}$曲線$y=g(x)$の点$\mathrm{B}$$(a,g(a))$における接線を$m$とし，$l$と$m$の交点を$\mathrm{C}$とする．また，$2$つの曲線$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)$および$2$つの直線$x=0\text{，}$$x=a$で囲まれる部分の面積を$S$とし，$\mathrm{▵ABC}$の面積を$T$とする．次の問いに答えなさい．

(1)　点$\mathrm{C}$の座標を$a$を用いて表しなさい．

(2)　$S$と$T$を$a$を用いて表しなさい．

(3)　$S:T=8:3$が成り立つとき，$a$の値を求めなさい．

【４】　$x>0$とする．点$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，$3$点$\mathrm{A}$$(1,2,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(2,1,1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(x,0,4)$の定める平面を$\alpha$とする．$\alpha$における$\mathrm{▵ABC}$の外心を$\mathrm{P}$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)　線分$\mathrm{AB}$の中点$\mathrm{M}$の座標を求めなさい．また，線分$\mathrm{AC}$の中点$\mathrm{N}$の座標を，$x$を用いて表しなさい．

(2)　$\cos \mathrm{\angle AOB}$の値を求めなさい．ただし，$0\mathrm{°}\angle AOB\leqq 180\mathrm{°}$とする．

(3)　$\mathrm{\angle AOB}=\mathrm{\angle BOC}$のとき，$x$の値と点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．

【１】　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．

$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=2+{\displaystyle \frac{3}{a_n}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$

次の問いに答えなさい．

(1)　$2$次方程式$x^2-2x-3=0$の$2$つの実数解$\alpha \text{，}$$\beta$を求めなさい．ただし，$\alpha >\beta$とする．

(2)　(1)で求めた$\alpha \text{，}$$\beta$に対して，$b_n={\displaystyle \frac{a_n-\alpha }{a_n-\beta }}$とおくとき，数列$\{b_n\}$は等比数列であることを示しなさい．

(3)　(2)で定めた数列$\{b_n\}$の一般項と数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．

(4)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めなさい．

【２】　関数$f(x)={\sin }^{2}x\text{，}$$g(x)={\cos }^{2}x$について，次の問いに答えなさい．

(1)　関数$y=f(x)$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$の増減，グラフの凹凸を調べ，グラフをかきなさい．

(2)　$0<a<{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$とする．$2$つの曲線$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)$および$2$つの直線$x=0\text{，}$$x=a$で囲まれる部分の面積を$S$とする．また，曲線$y=f(x)$の点$\mathrm{A}$$(a,f(a))$における接線と，曲線$y=g(x)$の点$\mathrm{B}$$(a,g(a))$における接線の交点を$\mathrm{C}$とし，$\mathrm{▵ABC}$の面積を$T$とする．

(ⅰ)　$S$を$a$を用いて表しなさい．

(ⅱ)　点$\mathrm{C}$の座標を$a$を用いて表しなさい．

(ⅲ)　$S+T={\displaystyle \frac{5}{8}}$が成り立つとき，$a$の値を求めなさい．

【３】　$x>0$とする．点$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，$3$点$\mathrm{A}$$(1,2,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(2,1,1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(x,0,4)$の定める平面を$\alpha$とする．$\alpha$における$\mathrm{▵ABC}$の外心を$\mathrm{P}$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)　線分$\mathrm{AB}$の中点$\mathrm{M}$の座標を求めなさい．また，線分$\mathrm{AC}$の中点$\mathrm{N}$の座標を，$x$を用いて表しなさい．

(2)　$\mathrm{\angle AOB}\leqq \mathrm{\angle BOC}$のとき，$x$のとり得る値の範囲を求めなさい．ただし，$0\mathrm{°}\leqq \mathrm{\angle AOB}\leqq 180\mathrm{°}\text{，}$$0\mathrm{°}\leqq \mathrm{\angle BOC}\leqq 180\mathrm{°}$とする．

(3)　$\mathrm{\angle AOB}=\mathrm{\angle BOC}$のとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．

【４】　次の問いに答えなさい．ただし，$i$は虚数単位である．

(1)　複素数平面上で等式

$|3z-4i|=2|z-3i|$

を満たす点$z$の全体はどのような図形を表すか答えなさい．

(2)　複素数$z$が(1)の等式を満たすとき，$|z+{\displaystyle \frac{1}{z}}+2i|$の最大値と最小値を求めなさい．また，そのときの$z$の値をそれぞれ求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．ただし，対数は自然対数とする．

(1)　$x>0$のとき，不等式$x>\log (1+x)$が成り立つことを示しなさい．

(2)　関数$f(x)$は，$x\geqq 0$で定義された連続関数で，$f(0)=0$を満たし，$x>0$で第$2$次導関数$f^{″}(x)$をもつとする．$x>0$で常に$f^{″}(x)<0$ならば，関数${\displaystyle \frac{f(x)}{x}}$は$x>0$で減少することを示しなさい．

(3)　$0<a<b<1$のとき，次の不等式が成り立つことを示しなさい．

${\displaystyle \frac{a}{b}}<{\displaystyle \frac{\log (1+a)}{\log (1+b)}}<{\displaystyle \frac{1}{\log 2}}\cdot {\displaystyle \frac{a}{b}}$

【２】　三角形の$3$頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線は，$1$点で交わる．その点を三角形の垂心という．

　$\mathrm{▵ABC}$の外心を$\mathrm{O}\text{，}$垂心を$\mathrm{H}$とするとき，次の問いに答えなさい．ただし，$\mathrm{▵ABC}$は直角三角形ではないとする．

(1)　直線$\mathrm{OB}$と$\mathrm{▵ABC}$の外接円との交点で$\mathrm{B}$でない点を$\mathrm{D}$とする．四角形$\mathrm{AHCD}$は平行四辺形であることを示しなさい．

(2)　辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=2\overrightarrow{\mathrm{OM}}$が成り立つことを示しなさい．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OH}}$が成り立つことを示しなさい．

【３】　実数$x$に対して，$3n\leqq x<3n+3$を満たす整数$n$により，

$f(x)=\{\begin{array}{ll}|3n+1-x|& \text{（}3n\leqq x<3n+2\text{のとき）}\\ 1& \text{（}3n+2\leqq x<3n+3\text{のとき）}\end{array}$

とする．関数$f(x)$について，次の問いに答えなさい．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)　$0\leqq x\leqq 7$のとき，$y=f(x)$のグラフをかきなさい．

(2)　$0$以上の整数$n$に対して，$I_n={\displaystyle {\int }_{3n}^{3n+3}}f(x)e^{-x}\mathit{dx}$とする．$I_n$を求めなさい．

(3)　自然数$n$に対して，$J_n={\displaystyle {\int }_0^{3n}}f(x)e^{-x}\mathit{dx}$とする．$\underset{n\to \infty }{\lim }{J}_n$を求めなさい．

【４】　次の問いに答えなさい．

(1)　$p\text{，}$$q\text{，}$$r$を実数とする．$p-q=r$ならば，$\left|p\right|$と$\left|q\right|$のうち少なくとも一方は${\displaystyle \frac{\left|r\right|}{2}}$以上であることを示しなさい．

(2)　$a\text{，}$$k$は実数で，$a>0\text{，}$$k\geqq 0$とする．関数$f(x)=a{x}^2$の$k-5\leqq x\leqq k-3$における最大値を$L\text{，}$最小値を$S$とする．このとき，不等式$L-S\geqq a$が成り立つことを示しなさい．

(3)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は実数で，$a>0\text{，}$$b\geqq 0$とする．関数$g(x)=|a{x}^2+bx+c|$の$-5\leqq x\leqq -3$における最大値を$M$とする．このとき，不等式$M\geqq {\displaystyle \frac{a}{2}}$が成り立つことを示しなさい．