2019　愛媛大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　${\log }_{10}12\text{，}$${\log }_{10}{\displaystyle \frac{1}{18}}$をそれぞれ$\alpha ={\log }_{10}2\text{，}$$\beta ={\log }_{10}3$を用いて表せ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$\tan {\displaystyle \frac{\pi }{12}}$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$1\leqq a\leqq b\leqq 100$を満たす整数$a\text{，}$$b$の組の個数を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(4)　$t$を実数とし，$f(x)=x^2-3x+2$とする．放物線$y=f(x)$上の$2$点$\mathrm{P}$$(t,f(t))\text{，}$$\mathrm{Q}$$(t+1,f(t+1))$における接線をそれぞれ$l_1\text{，}$$l_2$とする．接線$l_1\text{，}$$l_2$が直交するように$t$の値を定め，そのときの$l_1\text{，}$$l_2$の交点の座標を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(5)　定積分${\displaystyle {\int }_0^2}|x(x-1)|\mathit{dx}$を求めよ．

【２】　$a$を実数とし，

$f(x)=x^2+2x+6\text{，}$$g(x)=-x^2+2ax-4a$

とする．次の問いに答えよ．

(1)(ⅰ)　関数$y=f(x)$の最小値を求めよ．

(ⅱ)　関数$y=g(x)$の最大値を求めよ．

(ⅲ)　すべての実数$s\text{，}$$t$に対して$f(s)\geqq g(t)$が成り立つような$a$の値の範囲を求めよ．

(2)(ⅰ)　すべての実数$s$に対して$f(s)\geqq g(s)$が成り立つような$a$の値の範囲を求めよ．

(ⅱ)　$-1\leqq s\leqq 1$を満たすすべての実数$s$に対して$f(s)\geqq g(s)$が成り立つような$a$の値の範囲を求めよ．

【３】　曲線$y=\log x$上に点$\mathrm{A}$$(s,\log s)$と点$\mathrm{B}$$(t,\log t)$をとる．ただし，$s\text{，}$$t$は$0<s<t$を満たす実数とする．線分$\mathrm{AB}$の中点が点$\mathrm{P}$$({\displaystyle \frac{5}{4}},0)$であるとする．次の問いに答えよ．

(1)　$s+t$および$st$の値を求めよ．

(2)　点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の座標を求めよ．

(3)　関数$f(x)=x\log x-x$を微分せよ．

(4)　曲線$y=\log x$と線分$\mathrm{AB}$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【４】　$1$辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{OAB}$がある．$0<s<1$を満たす実数$s$に対し，$\mathrm{OM}=\mathrm{ON}=s$となる点$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$をそれぞれ辺$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}$上にとり，$\mathrm{AN}$と$\mathrm{BM}$の交点を$\mathrm{P}$とする．

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\mathrm{\angle APB}=\theta$

とおく．次の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．

(2)(ⅰ)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AN}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{BM}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$s$を用いて表せ．

(ⅱ)　$\cos \theta$を$s$を用いて表せ．

(ⅲ)　$\overrightarrow{\mathrm{AN}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BM}}$が直交するとき，$s$の値を求めよ．

(3)(ⅰ)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$s$を用いて表せ．

(ⅱ)　直線$\mathrm{OP}$と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}$が$\mathrm{OQ}$の中点であるとき，$s$の値を求めよ．

【５】　$1$から$20$までの整数が$1$つずつ書かれた$20$枚のカードがある．以下の手順に従って，整数$T_1\text{，}$$T_2\text{，}$$T_3\text{，}$$\cdots$を順次定める．

$\text{①}$　$1$枚のカードを取り出し，書かれている数を$T_1$とし，取り出したカードをもとに戻す．

$\text{②}$　$1$枚のカードを取り出し，書かれている数を$T_1$にかけた値を$T_2$とし，取り出したカードをもとに戻す．同様に，$n=3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}$$\cdots$に対して，$1$枚のカードを取り出し，書かれている数を$T_{n-1}$にかけた値を$T_n$とし，取り出したカードをもとに戻す．

　自然数$n$に対し，$T_n$が素数である確率を$a_n$とし，$T_n$が素数$2$個（同じ素数でもよい）の積である確率を$b_n$とする．なお，$1$は素数ではない．

　次の問いに答えよ．

(1)　$a_1\text{，}$$b_1$を求めよ．

(2)　$a_2\text{，}$$b_2$を求めよ．

(3)　$a_n$を$n$の式で表せ．

(4)　$b_n$を$n$の式で表せ．

【６】　次の問いに答えよ．

(1)　不等式$x^2-4x-4\leqq -2|x-1|$を解け．

【６】　次の問いに答えよ．

(2)　関数$f(x)=\log (\log x)$の$x=e^2$における微分係数$f^{\prime }(e^2)$を求めよ．

【６】　次の問いに答えよ．

(3)　$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{k}{n}}{e}^{\frac{k}{n}}$とおくとき，極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_n}{n}}$を求めよ．

【６】　次の問いに答えよ．

(4)　極限$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sqrt{3-2x}-\sqrt{3+2x}}{x}}$を求めよ．

【７】　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で定義された関数$f(x)=\sin x-{\sin }^{2}x$を考える．次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$における$f(x)$の増減を調べよ．

(3)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において，$2$つの曲線$y=\sin x$と$y={\sin }^{2}x$で囲まれた図形を$D$とする．

(ⅰ)　$D$の面積$S$を求めよ．

(ⅱ)　$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積$V$を求めよ．

【８】　複素数平面上の$3$点$\mathrm{O}(0)\text{，}$$\mathrm{P}(z_1)\text{，}$$\mathrm{Q}(z_2)$をとる．ここで

$z_1=2-\sqrt{3}i\text{，}$$z_2=5+\sqrt{3}i$

とする．ただし，$i$は虚数単位である．次の問いに答えよ．

(1)　$\left|z_1\right|\text{，}$$\left|z_2\right|$を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{z_2}{z_1}}$および$\mathrm{\angle OPQ}$を求めよ．

(3)　$\mathrm{O}$を中心に$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$をそれぞれ角${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$だけ回転させた点を${\mathrm{P}}^{\prime }(z_1^{\prime })\text{，}$${\mathrm{Q}}^{\prime }(z_2^{\prime })$とする．

(ⅰ)　$z_1^{\prime }\text{，}$$z_2^{\prime }$を求めよ．

(ⅱ)　線分$\mathrm{OQ}$と${\mathrm{P}}^{\prime }{\mathrm{Q}}^{\prime }$の交点を$\mathrm{R}(w)$とする．$w$を求めよ．

(ⅲ)　$\mathrm{▵OPQ}$と$\mathrm{▵O}{\mathrm{P}}^{\prime }{\mathrm{Q}}^{\prime }$の重なる部分の面積$S$を求めよ．

【９】　$1$辺の長さが$1$の立方体がある．立方体の頂点$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$に対し，線分$\mathrm{PQ}$の長さが$1$であるとき，$\mathrm{Q}$を$\mathrm{P}$と隣接する頂点という．

　立方体上に，次の規則に従って位置が決まる点が$1$つある．その点を動点とよぶことにする．

$\text{①}$　時刻$t=0$において，動点は立方体のある頂点にいる．その頂点を$\mathrm{O}$で表す．

$\text{②}$　$n$を$0$以上の整数とする．時刻$t=n+1$において，動点は時刻$t=n$のときにいた頂点$\mathrm{P}$に${\displaystyle \frac{1}{4}}$の確率で留まるか，もしくは$\mathrm{P}$と隣接する$3$つの頂点のいずれかへそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{4}}$の確率で移る．

　次の問いに答えよ．

(1)　時刻$t=2$において動点が$\mathrm{O}$と隣接する頂点にいる確率を求めよ．

(2)　時刻$t=3$において動点が$\mathrm{O}$と隣接する頂点にいる確率を求めよ．

(3)　時刻$t=4$において動点が$\mathrm{O}$と隣接する頂点にいる確率を求めよ．

(4)　時刻$t=5$において動点が$\mathrm{O}$と隣接する頂点にいる確率を求めよ．

志望別問題選択一覧

教育（学校教育教員養成課程中等教育コース自然科学系除く，特別支援養成），農，工（環境建設工学科社会デザインコース）学部　【１】，【２】，【４】，【５】

教育（学校教育教員養成課程中等教育コース自然科学系）学部　【１】，【３】，【４】，【５】

理，工（環境建設工学科社会デザインコース除く）学部　【４】，【５】，【６】，【７】，【８】

医学部　【５】，【６】，【７】，【８】，【９】