2019　九州大学　前期MathJax

【１】　表に$3\text{，}$裏に$8$が書かれた硬貨がある．この硬貨を$10$回投げるとき，出た数字$10$個の積が$8$桁になる確率を求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$とする．

【２】　$k$を実数とする．$3$次関数$y=x^3-k{x}^2+kx+1$が極大値と極小値をもち，極大値から極小値を引いた値が$4{\left|k\right|}^3$になるとする．このとき，$k$の値を求めよ．

【３】　座標空間内の$3$点$\mathrm{A}(1,2,3)\text{，}$$\mathrm{B}(3,2,3)\text{，}$$\mathrm{C}(4,5,6)$を通る平面を$\alpha$とし，平面$\alpha$上にない点$\mathrm{P}(6,p,q)$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とする．線分$\mathrm{PH}$の長さを$p\text{，}$$q$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$が${(p-9)}^2+{(q-7)}^2=1$を満たしながら動くとき，四面体$\mathrm{ABCP}$の体積の最大値と最小値を求めよ．

【４】　$0$でない$2$つの整式$f(x)\text{，}$$g(x)$が以下の恒等式を満たすとする．

$f(x^2)=(x^2+2)g(x)+7$

$g(x^3)=x^{4}f(x)-3x^{2}g(x)-6x^2-2$

以下の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の次数と$g(x)$の次数はともに$2$以下であることを示せ．

(2)　$f(x)$と$g(x)$を求めよ．

【１】　$n$を自然数とする．$x\text{，}$$y$がすべての実数を動くとき，定積分

${\displaystyle {\int }_0^1}{(\sin (2n\pi t)-xt-y)}^{2}dt$

の最小値を$I_n$とおく．極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$を求めよ．

【３】　$1$個のサイコロを$3$回投げて出た目を順に$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とする．$2$次方程式

$a{x}^2+bx+c=0$

の$2$つの解$z_1\text{，}{z}_2$を表す複素数平面上の点をそれぞれ${\mathrm{P}}_1(z_1)\text{，}$${\mathrm{P}}_2(z_2)$とする．また，複素数平面上の原点を$\mathrm{O}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　${\mathrm{P}}_1$と${\mathrm{P}}_2$が一致する確率を求めよ．

(2)　${\mathrm{P}}_1$と${\mathrm{P}}_2$がともに単位円の周上にある確率を求めよ．

(3)　${\mathrm{P}}_1$と$\mathrm{O}$を通る直線を$l_1$とし，${\mathrm{P}}_2$と$\mathrm{O}$を通る直線を$l_2$とする．$l_1$と$l_2$のなす鋭角が$60\mathrm{°}$である確率を求めよ．

【４】　座標平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}(2,0)\text{，}$$\mathrm{B}(1,\sqrt{3})$を考える．点${\mathrm{P}}_1$は線分$\mathrm{AB}$上にあり，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とは異なる点とする．

　線分$\mathrm{AB}$上の点${\mathrm{P}}_2\text{，}$$P_3\text{，}$$\cdots$を以下のように順に定める．点${\mathrm{P}}_n$が定まったとき，点${\mathrm{P}}_n$から線分$\mathrm{OB}$に下ろした垂線と$\mathrm{OB}$との交点を${\mathrm{Q}}_n$とし，点${\mathrm{Q}}_n$から線分$\mathrm{OA}$に下ろした垂線と$\mathrm{OA}$との交点を${\mathrm{R}}_n$とし，点${\mathrm{R}}_n$から線分$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と$\mathrm{AB}$との交点を${\mathrm{P}}_{n+1}$とする．

　$n\to \infty$のとき，${\mathrm{P}}_n$が限りなく近く点の座標を求めよ．

【５】　$a\text{，}$$b$を複素数，$c$を純虚数でない複素数とし，$i$を虚数単位とする．複素数平面において，点$z$が虚軸全体を動くとき

$w={\displaystyle \frac{az+b}{cz+1}}$

で定まる点$w$の軌跡を$C$とする．次の$3$条件が満たされているとする．

(ア)　$z=i$のときに$w=i$となり，$z=-i$のときに$w=-i$となる．

(イ)　$C$は単に円の周に含まれる．

(ウ)　点$-1$は$C$に属さない．

このとき$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値を求めよ．さらに$C$を求め，複素数平面上に図示せよ．