2019　佐賀大学　前期

【１】　$a$を実数とし，$t=\sin x+\cos x$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$\sin 2x$を$t$を用いて表せ．

(2)　$x$がすべての実数を動くとき，$t$の動く範囲を求めよ．

(3)　$x$の方程式

$\sin 2x-2\sqrt{2}a(\sin x+\cos x)+6a+1=0$

が実数解をもつような$a$の範囲を求めよ．

【２】　$a$を正の実数とする．$C$を放物線$y=x^2$とし，$l$を直線$y=2ax-a^3$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$C$と$l$が異なる$2$点で交わるとき，$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　(1)のとき，$C$と$l$で囲まれた図形の面積を$S$とする．$S$を$a$を用いて表せ．

(3)　(2)の$S$の最大値とそのときの$a$の値を求めよ．

【３】　座標空間の原点を$\mathrm{O}$とし，$4$つの点

$\mathrm{A}(1,0,-1)\text{，}$$\mathrm{B}(0,1,1)\text{，}$$\mathrm{C}(1,1,1)\text{，}$$\mathrm{D}(0,-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$

をとり，$\mathrm{▵OAB}$の面積を$\alpha$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$\alpha$の値を求めよ．

(2)　$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の定める平面に，点$\mathrm{C}$から垂線$\mathrm{CP}$を下ろす．

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

の形に表すとき，$s$と$t$の値を求め，$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$を成分で表せ．

(3)　(2)で求めた$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$に対して，点$\mathrm{E}$は，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=k\overrightarrow{\mathrm{CP}}$$\text{（}k>0\text{）}$と表され，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OE}}\right|=\alpha$をみたすとする．$\mathrm{▵ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}\perp \overrightarrow{\mathrm{DE}}$を示せ．

【１】　$10$本のくじの中に，当たりくじが$t$本，はずれくじが$(10-t)$本入っているものとする．この中からくじを$3$本続けて引くとき，次の問に答えよ．ただし，$0\leqq t\leqq 10$とし，引いたくじは戻さないものとする．

(1)　当たりくじがちょうど$1$本である確率を$t$を用いて表せ．

(2)　当たりくじが$1$本以下である確率$P(t)$を$t$を用いて表せ．

(3)　(2)の$P(t)$に対して，$P(t)\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$をみたす$t$をすべて求めよ．

【３】　$a>1$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{\cos }^{2}x\mathit{dx}\text{，}$${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{\sin }^{2}x\mathit{dx}\text{，}$${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}\sin x\cos x\mathit{dx}$を求めよ．

(2)　曲線$y=a\sin x+{\displaystyle \frac{a}{a-1}}\cos x$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{），}$$x$軸，$2$直線$x=0\text{，}$$x=\pi$で囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を$a$を用いて表せ．

(3)　$a>1$における，(2)の$V$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

【４】　$i$を虚数単位とし，$\theta ={\displaystyle \frac{2}{7}}\pi \text{，}$$\alpha =\cos \theta +i\sin \theta$とする．また，

$f(x)=8x^3+4x^2-4x-1$

とするとき，次の問に答えよ．

(1)　${\alpha }^7=1$および${\displaystyle \sum _{k=1}^6}{\alpha }^k=0$を示せ．

(2)　$\alpha +{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}=2\cos \theta$を示せ．これと(1)を用いて，$f(\cos \theta )=0$を示せ．

(3)　$f(\cos 2\theta )=0$を示せ．

【１】　$10$本のくじの中に，当たりくじが$t$本，はずれくじが$(10-t)$本入っているものとする．この中からくじを$3$本続けて引くとき，次の問に答えよ．ただし，$0\leqq t\leqq 10$とし，引いたくじは戻さないものとする．

(1)　当たりくじがちょうど$1$本である確率を$t$を用いて表せ．

(2)　当たりくじが$1$本以下である確率$P(t)$とするとき，$P(t)\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$をみたす$t$をすべて求めよ．

【２】　$a>1$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　曲線$y=a\sin x+{\displaystyle \frac{a}{a-1}}\cos x$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{），}$$x$軸，$2$直線$x=0\text{，}$$x=\pi$で囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を$a$を用いて表せ．

(2)　$a>1$における，(1)の$V$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

【３】　$i$を虚数単位とし，$\theta ={\displaystyle \frac{2}{7}}\pi \text{，}$$\alpha =\cos \theta +i\sin \theta$とする．また，

$f(x)=8x^3+4x^2-4x-1$

とするとき，次の問に答えよ．

(1)　${\alpha }^7=1$および${\displaystyle \sum _{k=1}^6}{\alpha }^k=0$を示せ．

(2)　$\alpha +{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}=2\cos \theta$を示せ．これと(1)を用いて，$f(\cos \theta )=0$を示せ．

(3)　$\cos 2\theta \text{，}$$\cos 3\theta$が，方程式$f(x)=0$の解となることを示せ．

【４】　$n\text{，}$$m$を$0$以上の整数とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　自然数$x\text{，}$$y$に対して，$x^2+y^2$が$3$の倍数ならば，$x\text{，}$$y$はともに$3$の倍数であることを示せ．

(2)　$x^2+y^2=5\cdot 3^{2n}$をみたす自然数の組$(x,y)$は

$(3^n,2\cdot 3^n)\text{，}$$(2\cdot 3^n,3^n)$

のみであることを示せ．

(3)　$x^2+y^2=7\cdot 3^n$をみたす自然数$x\text{，}$$y$は存在しないことを示せ．