2019　佐賀大学　後期

【１】　一辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．また，辺$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}$を$t:(1-t)$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とし，辺$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{AC}$を$s:(1-s)$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{L}\text{，}$$\mathrm{M}$とする．ただし，$s$と$t$は，それぞれ$0<s<1$および$0<t<1$をみたす実数とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OL}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$s\text{，}$$t$を用いて表せ．

(2)　${\left|\overrightarrow{\mathrm{PL}}\right|}^2$を$s\text{，}$$t$を用いて表せ．

(3)　${\left|\overrightarrow{\mathrm{PL}}\right|}^2$の最小値とそのときの$s\text{，}$$t$の値を求めよ．さらに，このとき四角形$\mathrm{PQLM}$が正方形となることを示せ．

【２】　$a_1=1\text{，}$$a_2=13\text{，}$および

$a_{n+2}=a_{n+1}+6a_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定まる自然数の数列$\{a_n\}$について，次の問に答えよ．

(1)　等式

$a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta (a_{n+1}-\alpha a_n)$

をみたす数の組$(\alpha ,\beta )$を$2$つ求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　すべての自然数$n$に対して，$a_{3n}$は$a_n$で割り切れることを示せ．

【３】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x^2}{x^2+2x+2}}$のグラフを$C$とするとき，次の問に答えよ．

(1)　$f(x)=1$をみたす$x$の値を求めよ．

(2)　導関数$f^{\prime }(x)$を求め，$f(x)$の極値を求めよ．また，極限

$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)\text{，}$$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$

を求めよ．

(3)　曲線$C$の概形をかけ．ただし，凹凸，変曲点を調べる必要はないものとする．

(4)　定積分

${\displaystyle {\int }_{-3}^0}|f(x)-1|\mathit{dx}$

を求めよ．

【４】　$i$を虚数単位とする．$\alpha =i\text{，}$$\beta =\sqrt{3}+i$とするとき，次の問に答えよ．

(1)　$\alpha$と$\beta$の偏角を$0$以上$2\pi$未満の範囲で求めよ．

(2)　点$\alpha$を中心として，点$\beta$を${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$だけ回転させた点$\gamma$を求めよ．

(3)　等式${\left({\displaystyle \frac{\alpha }{\left|\alpha \right|}}\right)}^n={\left({\displaystyle \frac{\beta }{\left|\beta \right|}}\right)}^n$をみたす最小の自然数$n$を求めよ．

【３】　実数を係数とする$0$でない整式$f(x)\text{，}$$g(x)$に対して，

$F(x)={(f(x)+g(x))}^3+{(f(x)-g(x))}^3$

とおく．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$F(x)$は$f(x)$で割り切れることを示せ．

(2)　実数$\alpha$に対して，$F(x)$は${(x-\alpha )}^2$で割り切れ，${(x-\alpha )}^3$では割り切れないとする．このとき，$f(x)$は${(x-\alpha )}^2$で割り切れることを示せ．

【４】　関数$y=|x^2-1|$のグラフを$C$とする．$t$が${\displaystyle \frac{1}{4}}\leqq t\leqq 1$をみたすとき，曲線$C$の$t\leqq x\leqq 2t$をみたす部分，$x$軸，$2$直線$x=t\text{，}$$x=2t$で囲まれた図形の面積を$S(t)$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{1}{4}}\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$S(t)$を$t$を用いて表せ．

(2)　${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq t\leqq 1$のとき，$S(t)$を$t$を用いて表せ．

(3)　${\displaystyle \frac{1}{4}}\leqq t\leqq 1$のとき，$S(t)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$t$の値をそれぞれ求めよ．