2019　鹿児島大学　前期MathJax

【１】　次の各問いに答えよ．

(1)　平面上で$2$点$\mathrm{A}$$(3,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,4)$から等距離にある点全体のなす直線$l$の方程式を求めよ．さらに，点$\mathrm{P}$$(2,2)$は，直線$l$が分ける$2$つの領域のうち，点$\mathrm{A}$のある領域，点$\mathrm{B}$のある領域どちらに属するかを調べよ．

【１】　次の各問いに答えよ．

(2)　有限集合$X$の要素の個数を$n(X)$で表すことにする．全体集合$U$は有限集合で$n(U)=100$とし，$A\text{，}$$B$は$U$の部分集合で$n(A)=30\text{，}$$n(B)=80$とする．$n(A\cap B)$のとり得る値の最大値および最小値を求めよ．

【１】　次の各問いに答えよ．

(3)　方程式$5x+8y=139$を満たす正の整数の組$(x,y)$をすべて求めよ．

【２-１】　実数$\alpha \text{，}$$\beta$に対して，整式

$f(x)=x^4+2\alpha x^3$$+({\alpha }^2-{\beta }^2+2)x^2+2\alpha x+1$

を考える．

(1)　$y=x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$とおく．このとき${\displaystyle \frac{1}{x^2}}f(x)$を$y$の整式で表せ．

(2)　$(\alpha ,\beta )=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{3}{2}})$のとき，方照式$f(x)=0$の解をすべて求めよ．

(3)　方程式$f(x)=0$がちょうど$1$つの解をもつような$(\alpha ,\beta )$をすべて求めよ．

【２-２】　曲線$y=e^x$の接線で，原点を通るものを$l$とする．

(1)　接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　曲線$y=e^x\text{，}$接線$l$および直線$y=x+1$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【３-１】　実数$p$に対して，数列$\{a_n\}$は

$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=p{a}_n+3n^2+3n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\cdots$(＊)

を満たす．

(1)　$p=1$のとき，$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　$p$が$1$でないとき，漸化式(＊)は実数$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$を用いて

$a_{n+1}+\alpha {(n+1)}^2+\beta (n+1)+\gamma$$=p(a_n+\alpha n^2+\beta n+\gamma )$

とかき表せる．$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$を$p$を用いて表せ．

(3)　$p=2$のとき，$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【３-２】　$xyz$空間上に，点$\mathrm{A}$$(1,0,0)\text{，}$点$\mathrm{B}$$(-1,b,b)\text{，}$球$S\text{：}{x}^2+{(y-1)}^2+z^2=1$がある．ただし，$b$は実数とする．原点を$\mathrm{O}$とする．

(1)　直線$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$を，実数$t$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と表すとき，点$\mathrm{P}$の座標を$b\text{，}$$t$を用いて表せ．

(2)　直線$\mathrm{AB}$が球$S$と共有点をもつような$b$の値の範囲を求めよ．

(3)　球$S$の中心を$\mathrm{C}$とする．$b$が(2)の値の範囲を動くとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積$T$の最大値と最小値を求めよ．

【３-３】　$1$から$10$までの数字が$1$つずつ書かれた$10$枚のカードがある．この中から$1$枚のカードを無作為に取り出し，書かれた数を記録してもとに戻す．この試行を$n$回行い，$i$回目に取り出したカードに書かれた数を$X_i$とする．さらに，それらの$n$個の数$X_1\text{，}$$X_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$X_n$を小さい順に並べかえたものを$X_{(1)}\leqq X_{(2)}\leqq \cdots \leqq X_{(n)}$とする．

(1)　確率$P(X_{(n)}\leqq 8)$を求めよ．

(2)　確率$P(X_{(n)}=8)$を求めよ．

(3)　$n$を$2$以上とするとき，$X_{(2)}$が$6$以上となる確率が${\displaystyle \frac{1}{2}}$未満となる最小の試行回数$n$を求めよ．

【４】　$0$でない複素数$z$に対して，$w=x+yi$を$w=z^2+{\displaystyle \frac{\bar{z}}{z}}$とする．ただし，$x$と$y$は実数，$i$は虚数単位とし，$\bar{z}$は$z$と共役な複素数とする．

(1)　$0$でない複素数$z$について，$z$の絶対値を$r\text{，}$偏角を$\theta$とするとき，$z\text{，}$${\displaystyle \frac{1}{z}}\text{，}$$\bar{z}$を，それぞれ$r\text{，}$$\theta$を用いて極形式で表せ．

(2)　複素数平面上で点$z$が原点を中心とする半径$1$の円の周上を動くとき，点$w$が描く図形を求めよ．

(3)　$r>1$とする．複素数平面上で点$z$が原点を中心とする半径$r$の円の周上を動くとき，点$w$が描く曲線$C$の方程式を$x\text{，}$$y$を用いて表せ．

(4)　$r>1$とする．(3)の曲線$C$で囲まれた部分の面積を$r$を用いて表せ．

【５】　関数$f(x)=\log (1+x)$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$を考える．$xy$平面上の$y=f(x)$のグラフを$y$軸のまわりで一回転させてできる形の容器がある．はじめ空である容器に，時刻$t$における水の量が$vt$になるように，単位時間あたり$v$の一定の割合で水を静かに注ぐ．ただし，$v$は正の定数とし，容器は回転軸（$y$軸）が水平面に垂直で，$y$軸の正の側を上向きにして固定されている．

(1)　$xy$平面上で$y=f(x)$の増減と凹凸を調べてグラフをかけ．

(2)　水面の高さが$h$になったときの，容器内の水の量$V$を$h$を用いて表せ．

(3)　水面の高さが$h=\log 2$になったときの，水面の高さの変化率${\displaystyle \frac{\mathit{dh}}{\mathit{dt}}}$を求めよ．