2019　鹿児島大学　AO理学部MathJax

【１】　次の各問いに答えよ．

(1)　$x$に関する方程式

$x^2-6x-9=|5x+3|$

の実数解をすべて求めよ．

【１】　次の各問いに答えよ．

(2)　コインを$5$回投げたとき，表が$2$回以上出て，裏が$1$回以上出る確率を求めよ．

【１】　次の各問いに答えよ．

(3)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$を実数とする．次の不等式を示せ．

$\sqrt{{(a+c)}^2+{(b+d)}^2}\leqq \sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}$

【１】　次の各問いに答えよ．

(4)　${(1-i)}^{2018}$を簡単にせよ．ただし$i$は虚数単位とする．

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$とその重心$\mathrm{G}$を考える．$B<C$のとき次が成立することを示せ．ただし$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の大きさをそれぞれ$B\text{，}$$C$で表す．

(1)　$\sin B<\sin C$

(2)　$\mathrm{AB}>\mathrm{AC}$

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{BA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}>\overrightarrow{\mathrm{CA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}$

(4)　$\mathrm{BG}>\mathrm{CG}$

【３】　$n$を自然数とし，実数全体を定義域とする関数$f_n(x)$を

$f_n(x)=1+{\displaystyle \frac{1}{1!}}x+{\displaystyle \frac{1}{2!}}{x}^2+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n!}}{x}^n$

と定める．次を証明せよ．

(1)　$f_3(x)$は単調増加である．

(2)　$x$に関する方程式$f_3(x)=0$は$-2<x<-1$の範囲に解をもつ．

(3)　すべての実数$x$に対して$f_4(x)>0$である．

【４】　数列$\{a_n\}$が

$a_1={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$a_{n+1}=\{\begin{array}{ll}-{\displaystyle \frac{3}{2}}{a}_n+{\displaystyle \frac{5}{2}}& \text{（}{a}_n>0\text{のとき）}\\ -{\displaystyle \frac{3}{2}}{a}_n-{\displaystyle \frac{5}{2}}& \text{（}{a}_n<0\text{のとき）}\end{array}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定められているとする．次の各問いに答えよ．

(1)　$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4$の値を求めよ．

(2)　数学的帰納法を用いて，$2^n{a}_n$が奇数であることを示せ．

(3)　$m$を自然数とする．$a_m>0$ならば，

$|a_{m+1}-1|={\displaystyle \frac{3}{2}}|a_m-1|$

が成り立つことを示せ．

【５】　$n$は$0$以上の整数とする．次の各問いに答えよ．

(1)　$0$以上の整数$p\text{，}$$q\text{，}$$r$の組$(p,q,r)$で$p+q+r=6$と$p\leqq q\leqq r$を満たすものをすべて挙げよ．

(2)　$0$以上の整数$p\text{，}$$q\text{，}$$r$が$p+q+r=n$と$p\leqq q\leqq r$を満たすならば，$p\leqq {\displaystyle \frac{1}{3}}n$であることを示せ．

(3)　$p$は$0\leqq p\leqq {\displaystyle \frac{1}{3}}n$を満たす整数とする．整数$q\text{，}$$r$の組$(q,r)$で$p+q+r=n$と$p\leqq q\leqq r$を満たすものの総数を，$n\text{，}$$p$を用いて表せ．$n-p$が偶数のときと奇数のときに分けて答えよ．

(4)　$n$が$6$の倍数で$n=6m$と表されるとき，$0$以上の整数$p\text{，}$$q\text{，}$$r$の組$(p,q,r)$で$p+q+r=n$と$p\leqq q\leqq r$を満たすものの総数を$m$を用いて表せ．