2019　青森公立大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

問題１　次の式を計算せよ．

${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{1+2\sqrt{3}+\sqrt{5}}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{1+2\sqrt{3}-\sqrt{5}}}$

【１】　次の問いに答えよ．

問題２　$n$進法で表された数は，右下に${}_{(n)}$をつけることにする．このとき，$2$進法で${10011}_{(2)}$と表される数，$7$進法で${23}_{(7)}$と表される数について，次の式を計算し，その結果を$5$進法で表せ．

${10011}_{(2)}+{23}_{(7)}$

【１】　次の問いに答えよ．

問題３　正の定数$a\text{，}$$b$について，次の不等式が成り立つことを証明せよ．

${\displaystyle \frac{2}{{\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}}}\leqq \sqrt{ab}$

【２】次の問いに答えよ．

問題１　$x$についての不等式$x^2-(a+5)x+4(a+1)<0$を解け．ただし，$a$を定数とする．

問題２　次の連立不等式を満たす$x$の値の範囲に整数がちょうど$2$つ存在するような定数$a$の値の範囲を求めよ．

$\{\begin{array}{l}{x}^2-(a+5)x+4(a+1)<0\\ 2x^2-5x-3>0\end{array}$

【３】　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=7\text{，}$$\mathrm{CA}=13\text{，}$外接円の半径$R={\displaystyle \frac{13\sqrt{3}}{3}}$とする．$\mathrm{\angle BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}\text{，}$外接円との交点を$\mathrm{E}$とする．ただし，$\mathrm{\angle ABC}$は鋭角とする．

問題１　辺$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．

問題２　線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．

問題３　線分$\mathrm{BE}$の長さを求めよ．

【４】　$7$枚のカードがあり，それぞれ$\mathrm{H}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{K}\text{，}$$\mathrm{K}\text{，}$$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{A}$という文字が$1$つずつ書かれている．

問題１　これらの$7$枚のカードを円形に並べる場合，その組み合わせは全部で何通りあるか答えよ．

問題２　これらの$7$枚のカードをよく混ぜてから円形に並べたとき，$\mathrm{H}$の隣に$\mathrm{O}$が並ぶ確率を求めよ．

問題３　これらの$7$枚のカードをよく混ぜてから円形に並べたとき，$\mathrm{A}$の隣に$\mathrm{K}$が並ぶ確率を求めよ．