2019　福島県立医科大学　前期

【１】　次の各問いについて答えだけを書け．

(1)　座標平面上に放物線$y=x^2$が与えられている．放物線上の点$(a,a^2)$における接線と，点$(a+1,{(a+1)}^2)$における接線の交点を$\mathrm{P}$とする．$a$がすべての実数値をとって変化するとき，点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

【１】　次の各問いについて答えだけを書け．

(2)　$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{BC}=4\text{，}$$\mathrm{\angle BAC}=90\mathrm{°}$である$\mathrm{▵ABC}$があり，$\mathrm{\angle ABC}$の$2$等分線に$\mathrm{C}$から下ろした垂線の足を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{▵BCD}$の面積を求めよ．

【１】　次の各問いについて答えだけを書け．

(3)　$i$を虚数単位とする．方程式$z^3=2-2i$を解け．

【１】　次の各問いについて答えだけを書け．

(4)　実数$x$についての関数の列$\{f_n(x)\}$が$f_n(x)={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{x^k}{k}}-2{\displaystyle {\int }_0^1}{f}_n(t)\mathit{dt}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$を満たしている．極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(0)$を求めよ．

【２】　座標空間に$4$点$\mathrm{A}$$(6,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,6,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,0,6)\text{，}$$\mathrm{P}$$(t,t,1)$をとる．ただし，$0<t<{\displaystyle \frac{5}{2}}$とする．点$\mathrm{P}$から$\mathrm{▵ABC}$を含む平面に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とし，$\mathrm{P}$から辺$\mathrm{CA}\text{，}$$\mathrm{CB}$に下ろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とする．さらに，直線$\mathrm{QR}$に関して点$\mathrm{C}$と対称な点を$\mathrm{S}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$3$点$\mathrm{H}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{S}$の座標をそれぞれ$t$で表せ．

(2)　四面体$\mathrm{PQRS}$の体積を$t$で表せ．

(3)　四面体$\mathrm{PQRS}$と四面体$\mathrm{PABC}$の共通部分の体積を$t$で表せ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　右図のような，半径$1\text{，}$中心角$x$ラジアンの扇形$\mathrm{OAC}$と$\mathrm{\angle OAB}$が直角である$\mathrm{▵OAB}$を考える．ただし，$\mathrm{B}$は線分$\mathrm{OC}$の延長線上にあり，$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$である．右図を参考にして，$\underset{x\to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin x}{x}}=1$となることを示せ．さらに，$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin x}{x}}=1$が成り立つことも示せ．

(2)　微分の定義にしたがって，関数$y=\sin x$の導関数を求めよ．

【４】　正の定数$a$について，$a_1=a\text{，}$$a_{n+1}=a^{a_n}$により，数列$\{a_n\}$を定める．また，関数$y=x^{\frac{1}{x}}$$\text{（}x>0\text{）}$の最大値を$b$とする．以下の問いに答えよ．ただし，$e$を自然対数の底とする．

(1)　関数$y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}\log x$$\text{（}x>0\text{）}$の最大値を求めよ．

(2)　関数$y=x^{\frac{1}{x}}$$\text{（}x>0\text{）}$の増減，漸近線を調べて，グラフの概形をかけ．

(3)　$1\leqq a\leqq b$であるとき，すべての自然数$n$について，不等式$a\leqq a_n\leqq a_{n+1}\leqq e$が成立することを示せ．

(4)　$a=\sqrt{2}$について，極限値$l=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．ただし，極限値$l$が存在することは仮定してよい．