2019　首都大学東京　前期MathJax

【１】　$a$を実数とし，$xy$平面上の曲線$y={(x-a)}^2-a$と$y=-x^2$をそれぞれ$C_1$と$C_2$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　$C_1$と$C_2$が$2$つの異なる交点をもつとき，$a$のとり得る値の範囲を求めなさい．

(2)　$\alpha$と$\beta$を実数とする．次の等式が成り立つことを示しなさい．

${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }}(x-\alpha )(x-\beta )dx=-{\displaystyle \frac{1}{6}}{(\beta -\alpha )}^3$

(3)　$a$は(1)で求めた範囲を動くとする．$C_1$と$C_2$によって囲まれた図形の面積を$S(a)$で表す．$S(a)$が最大になる$a$の値と，そのときの$S(a)$の値を求めなさい．

【２】　$\theta$を$0\leqq \theta \leqq 2\pi$をみたす実数として，

$f(\theta )=\sqrt{3}\sin 2\theta -\cos 2\theta -2\sqrt{6}\sin \theta -2\sqrt{2}\cos \theta$

とする．$x=\sqrt{3}\sin \theta +\cos \theta$とおく．以下の問いに答えなさい．

(1)　$x$を$r\sin (\theta +\alpha )$の形に表しなさい．ただし，$\alpha$は実数，$r$は正の実数とする．

(2)　$f(\theta )$を$x$の式で表しなさい．

(3)　$f(\theta )$の最大値と最小値，およびそのときの$\theta$の値を求めなさい．

【３】　$1$から$6$の目が出る確率が等しいさいころが$1$個ある．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の$2$人がそれぞれ$1$回さいころを投げ，出た目をそれぞれ$a\text{，}b$とする．$a\leqq b$のときは，$b$を$a$で割った余りを$\mathrm{A}$の得点とし，$\mathrm{B}$の得点は$-1$とする．$a>b$のときは，$a$を$b$で割った余りを$\mathrm{B}$の得点とし，$\mathrm{A}$の得点は$-1$とする．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の得点をそれぞれ$r\text{，}s$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　$r=0$となる確率を求めなさい．

(2)　積$rs$が$0$となる確率を求めなさい．

(3)　$1$以上$6$以下の整数$n$であって「$r=n$となる確率が正」となるもののうち，最大のものを求めなさい．

【４】　$n$を$2$以上の自然数とする．$n$の正の約数のうち，$n$以外のものをすべて並べる．それらの総和が$n$であるとき，$n$を完全数という．例えば，$6$の正の約数のうち，$6$以外のものは$1\text{，}2\text{，}3$であり，それらの総和は$1+2+3=6$である．したがって，$6$は完全数である．以下の問いに答えなさい．

(1)　$496$は完全数であることを示しなさい．

(2)　$m$を$2$以上の自然数とする．$2^m-1$が素数であれば，$2^{m-1}(2^m-1)$は完全数であることを示しなさい．

【１】　$\alpha =-4-2i\text{，}\beta =2+i$とする．ただし，$i$は虚数単位を表す．複素数平面において$|z-\alpha |=2|z-\beta |$をみたす点$z$の集合を$C$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　$C$は複素数平面上の円になることを示し，その円の中心と半径を求めなさい．

(2)　点$z$が$z=0$を除いて$C$上を動くとき，$w={\displaystyle \frac{1}{z}}$で定まる点$w$が複素数平面上で直線を描くことを示しなさい．

(3)　複素数平面上の$2$点$\mathrm{A}(\alpha )$と$\mathrm{B}(\beta )$を通る直線を$l$とし，(2)で示した$w$の描く直線を$m$とする．$l$と$m$が$1$点で交わることを示し，$l$と$m$のなす角$\theta (0<\theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$について$\cos \theta$の値を求めなさい．

【２】　$n$を自然数とするとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$f(x)={\displaystyle \frac{1}{{(x^2+1)}^n}}$の導関数を求めなさい．

(2)　$I_n={\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{1}{{(x^2+1)}^n}}dx$とおく．${\displaystyle \frac{1}{{(x^2+1)}^n}}={(x)}^{\prime }\times {\displaystyle \frac{1}{{(x^2+1)}^n}}$であることを利用して，等式

$I_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2n}}\{(2n-1)I_n+{\displaystyle \frac{1}{2^n}}\}$

が成り立つことを示しなさい．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{1}{{(x^2+1)}^3}}dx$の値を求めなさい．

【３】　図のような平行六面体$\mathrm{OADB}‐\mathrm{CEFG}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．

$\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{c}\right|=2\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=3\text{，}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=4\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=5\text{，}$$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}=3$

とする．$3$点$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$の定める平面を$\alpha$とし，$\mathrm{O}$を通り$\alpha$に垂直な直線を$l$とする．平面$\alpha$と直線$l$の交点を$\mathrm{H}$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$で表しなさい．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$の大きさを求めなさい．

(3)　平行六面体$\mathrm{OADB}‐\mathrm{CEFG}$の体積を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(1)　三角関数の加法定理を用いて，次の等式を示しなさい．

$\cos \alpha \sin \beta ={\displaystyle \frac{1}{2}}\{\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )\}$

(2)　$N$を自然数とする．次の等式を示しなさい．

$(\cos x+\cos 2x+\cdots +\cos Nx)\times 2\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}$$=\sin (Nx+{\displaystyle \frac{x}{2}})-\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}$

(3)　$0<x<2x$の範囲で

$\cos x+\cos 2x+\cos 3x+\cos 4x=0$

をみたす$x$をすべて求めなさい．

【２】　関数$f(x)$は閉区間$[0,\pi ]$で連続であり，$0\leqq x<y\leqq \pi$ならばつねに$f(x)\leqq f(y)$が成り立つとする．以下の問いに答えなさい．

(1)　自然数$n$に対し，不等式

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}f({\displaystyle \frac{\pi }{n}}k){\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{n}k}^{\frac{\pi }{n}(k+1)}}|\sin nx|dx$$\leqq {\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f(x)|\sin nx|dx$$\leqq {\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}f({\displaystyle \frac{\pi }{n}}(k+1)){\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{n}k}^{\frac{\pi }{n}(k+1)}}|\sin nx|dx$

が成り立つことを示しなさい．

(2)　自然数$n$と整数$k$に対し，定積分

${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{n}k}^{\frac{\pi }{n}(k+1)}}|\sin nx|dx$

を求めなさい．

(3)

$a_n={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f(x)|\sin \pi x|dx$

で定まる数列$\{a_n\}$が収束することを示しなさい．

【３】　放物線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$を$C$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　$C$上の点$(t,{\displaystyle \frac{1}{2}}{t}^2)$における接線の方程式と法線の方程式を求めなさい．

(2)　点$\mathrm{P}(a,b)$から$C$に相異なる$2$本の接線を引くことができるための，$a$と$b$についての条件を求めなさい．

(3)　$a>0$のとき，点$\mathrm{P}(a,b)$から$C$に相異なる$3$本の法線を引くことができるための，$a$と$b$についての条件を求めなさい．