2019　首都大学東京　後期MathJax

【１】　$p$を素数とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　$r$を$p$より小さい自然数とする．このとき，$p$は$r$の階乗$r!$の素因数ではないことを示しなさい．

(2)　$r$を$p$より小さい自然数とする．このとき，

${}_{p}C_r\cdot r!=p(p-1)\cdots (p-r+1)$

であることを利用して，${}_{p}C_r$が$p$の倍数であることを示しなさい．

(3)　$n$が自然数のとき，$n^p-n$が$p$の倍数であることを，数学的帰納法を用いて証明しなさい．

【２】　双曲線$x^2-2y^2=1$を$C$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　双曲線$C$上の点$(3,2)$における接線$l$の方程式を求めなさい．

(2)　$t=z+\sqrt{x^2-1}$とおく．${\displaystyle \frac{dx}{\mathit{dt}}}$を$t$の式で表しなさい．

(3)　(1)で求めた接線$l$と$x$軸および双曲線$C$で囲まれる部分の面積を求めなさい．

【３】　空間の点$\mathrm{A}$$(0,-1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,0,1)$を考える．実数$t$は$0<t<{\displaystyle \frac{1}{4}}$の範囲を動くものとし，動点$\mathrm{P}$の座標を$(\cos 2\pi t,\sin 2\pi t,0)$とする．線分$\mathrm{PB}$を$\sin 2\pi t:(1-\sin 2\pi t)$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　$\mathrm{R}$の座標を$t$の式で表しなさい．

(2)　$s=\sin 2\pi t$とおく．$\mathrm{O}$を原点とするとき三角形$\mathrm{OAR}$の面積を$(\text{実数})\times \sqrt{(s\text{の}4\text{次式})}$の形に表しなさい．$4$次の項の係数は$1$または$-1$とすること．

(3)　$s={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき三角形$\mathrm{OAR}$の面積が最小になることを示しなさい．また，そのときの$t$の値と三角形$\mathrm{OAR}$の面積を答えなさい．

【４】　直線上に$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$がこの順にあるとする．点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$のどこかにいるとする．以下の規則に従って点$\mathrm{P}$を動かす．

(ⅰ)　点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$にいるとき，$1$個のさいころを$1$回投げ，さいころの目が偶数ならそのまま点$\mathrm{A}$に残り，奇数なら点$\mathrm{B}$に移動する．

(ⅱ)　点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{B}$にいるとき，$1$個のさいころを$1$回投げ，さいころの目が$1$または$2$なら点$\mathrm{A}$に移動し，$3$または$4$ならそのまま点$\mathrm{B}$に残り，$5$または$6$なら点$\mathrm{C}$に移動する．

(ⅲ)　点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{C}$にいるとき，$1$個のさいころを$1$回投げ，さいころの目が偶数ならそのまま点$\mathrm{C}$に残り，奇数なら点$\mathrm{B}$に移動する．

点$\mathrm{P}$は最初は点$\mathrm{A}$にいるものとして，$1$個のさいころを$n$回投げたあとに，点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$にいる確率をそれぞれ$p_n\text{，}$$q_n\text{，}$$r_n$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　$p_2\text{，}$$q_2\text{，}$$r_2$を求めなさい．

(2)　$s_n=3p_n-4q_n+3r_n\text{，}$$t_n=p_n-r_n$とおく．$s_n\text{．}$$t_n$を求めなさい．

(3)　$p_n\text{，}$$q_n\text{，}$$r_n$を求めなさい．