2019　岐阜薬科大学　中期

【１】　ある規則に基づいてつくられた数列$\{a_n\}$の第$1$項から第$9$項は，$0\text{，}$$3\text{，}$$8\text{，}$$15\text{，}$$24\text{，}$$35\text{，}$$48\text{，}$$63\text{，}$$80$である．また，この数列を$0\text{，}$$3|$$8\text{，}$$15\text{，}$$24\text{，}$$35|$$48\text{，}$$63\text{，}$$80\text{，}$$\cdots$のように第$m$番目の区画に$2^m$個の項が入るように分ける．なお，$m$と$n$は自然数とする．以下の問いに答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　初項から第$n$項までの和を求めよ．

(3)　第$m$番目の区画の最後の項を求めよ．

(4)　第$m$番目の区画に入る項の和を求めよ．

【２】　右図の直方体$\mathrm{ABCD‐EFGH}$において， $\mathrm{AB}=1\text{，}$$\mathrm{AD}=2\text{，}$$\mathrm{AE}=1$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{▵AFD}$を直線$\mathrm{FD}$の回りに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

(2)　$\mathrm{▵AFD}$を直線$\mathrm{AE}$の回りに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

【３】　三角錐$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{▵BCD}$は$1$辺の長さが$2$の正三角形である．$\mathrm{AC}=\mathrm{AD}=\sqrt{6}\text{，}$$\mathrm{\angle BAD}=45\mathrm{°}\text{，}$$0\mathrm{°}\leqq \mathrm{\angle DBA}\leqq 90\mathrm{°}$のとき，以下の問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{AB}$の長さと$\cos \mathrm{\angle DBA}$を求めよ．

(2)　辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{P}$があり，辺$\mathrm{BD}$上に点$\mathrm{Q}$がある．$\mathrm{BQ}=x\text{，}$$\mathrm{CP}=2x$とし，$0<x<1$とする．線分$\mathrm{PQ}$の長さが最小になるときの三角錐$\mathrm{ABPQ}$の体積を求めよ．

【４】　以下の問いに答えよ．

(1)　等式$a+b+c+d=10$を満たす負でない整数解の組$(a,b,c,d)$の総数を求めよ．

(2)　(1)の等式を満たす正の整数解の組$(a,b,c,d)$の総数を求めよ．

(3)　(2)のうち，$a>b$となる組の総数を求めよ．

(4)　不等式$a+b+c+d\leqq 10$を満たす正の整数解の組$(a.b,c,d)$の総数を求めよ．

【５】　以下の問いに答えよ．ただし，角度は全て弧度法で答えよ．

(1)　方程式$\sin 3\theta =\cos 2\theta$を満たす$\theta$の正の最小値を求めよ．

(2)　$x$と$y$の範囲を${\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x\leqq \pi \text{，}$$0\leqq y\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とするとき，不等式$\sin 2x-\sin y\leqq \cos 2x-\cos y$の示す領域を図示せよ．