2019　名古屋市立大　後期

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$が次の式で与えられているとき，$\{b_n\}$の階差数列$\{b_{n+1}-b_n\}$の一般項を求め，その結果を用いて$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

$a_1=2\text{，}$$a_{n+1}=2a_n+n\text{，}$$b_n=a_{n+1}-a_n$

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$2$以上の整数$n$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．

$1+{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{5}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{2n-1}}>{\displaystyle \frac{3n}{2n+1}}$

【２】　座標平面において，不等式

${\log }_{10}(2|x^3|+5x^2+5|x|+2+|y|)$$\leqq {\log }_{10}(|x|+1)+2{\log }_{10}(|x|+2)$

の表す領域を$D$とする．次の問いに答えよ．

(1)　領域$D$を図示せよ．

(2)　領域$D$の面積を求めよ．

【３】　四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}\text{，}$$\mathrm{OC}$の長さをそれぞれ$s\text{，}$$t\text{，}$$u$とし，$\mathrm{\angle AOB}=\theta \text{，}$$\mathrm{\angle AOC}=2\theta \text{，}$$\mathrm{\angle BOC}=90\mathrm{°}$とする．ただし，$30\mathrm{°}<\theta <90\mathrm{°}$とする．また，頂点$\mathrm{A}$から平面$\mathrm{OBC}$に下ろした垂線と平面$\mathrm{OBC}$の交点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を，$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$と$s\text{，}$$t\text{，}$$u\text{，}$$\theta$を用いて表せ．

(2)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を$s\text{，}$$t\text{，}$$u\text{，}$$\theta$を用いて表せ．

(3)　$s\text{，}$$t\text{，}$$u$を定数とする．$\theta$を動かすとき$V$の最大値を求めよ．

【４】　図(a)は$6\times 6$の格子点からなる正方格子，図(b)は$4\times 4$の格子点からなる正方格子である．また，図のようにそれぞれの正方格子に始点$\mathrm{S}\text{，}$終点$\mathrm{G}$をとる．点$\mathrm{P}$を操作して，始点$\mathrm{S}$から終点$\mathrm{G}$に移動させる方法を考える．点$\mathrm{P}$は$1$回の操作で上下左右に隣りあったいずれかの格子点に動く．点$\mathrm{P}$は，移動の途中で$\mathrm{S}$および$\mathrm{G}$を含む任意の格子点を複数回通過してもよいが，正方格子の外に出てはならない．図(a)における矢印の列「$\to$$\to$$\uparrow$$\to$$\uparrow$$\uparrow$$\uparrow$$\downarrow$」と図(b)における矢印の列「$\to$$\to$$\uparrow$$\leftarrow$$\to$$\to$$\uparrow$$\uparrow$」は，それぞれ黒丸で示した$\mathrm{S}$から黒丸で示した$\mathrm{G}$に$8$回の操作で移動した例である．

　このとき，次の問いに答えよ．

(1)　図(a)において，$\mathrm{S}$から$\mathrm{G}$に$6$回の操作で移動する方法の総数を求めよ．

(2)　図(a)において，$\mathrm{S}$から$\mathrm{G}$に$8$回の操作で移動する方法の総数を求めよ．

(3)　図(b)において，$\mathrm{S}$から$\mathrm{G}$に$8$回の操作で移動する方法の総数を求めよ．

【２】　関数$f(x)=(x-1)(x-3)\log {\displaystyle \frac{x}{2}}$$\text{（}x>0\text{）}$について，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数である．

(1)　不等式$f(x)>0$を解け．

(2)　不定積分${\displaystyle \int }f(x)\mathit{dx}$を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．