2019　名古屋市立大　中期

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　球$A$と球$B$がある．球$A$の体積の$n$倍が，球$B$の体積と等しく，球$A$の表面積の$n$倍が，球$B$の表面積の$2$倍に等しい．このときの$n$を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　$xy$平面上の曲線$y=a-a{e}^{-bx}$が，点$(1,10)$と点$(2,15)$の$2$点を通るとき，定数$a\text{，}$$b$を求めよ．

【２】　$a$を正の定数とし，$xy$平面上の楕円$x^2+a^2{y}^2=2$の$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0$の部分を曲線$C$とする．点$\mathrm{P}$$(p,q)$が，曲線$C$上を動くとき，以下の問いに答えよ．ただし，$p>0\text{，}$$q>0$とする．

(1)　$pq$の最大値を$a$を用いて表せ．

(2)　$pq$が最大となるときの$p\text{，}$$q$を$a$を用いて表せ．

(3)　$pq$が最大となるときの点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線$l$の方程式を$a$を用いて表せ．

(4)　(3)で求めた接線$l$と$x$軸，および曲線$C$で囲まれた領域を$D$とする．$D$の面積$S$を$a$を用いて表せ．

(5)　(4)で定めた領域$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を$a$を用いて表せ．

【３】　$xy$平面上の曲線$C\text{：}y=x{e}^{\frac{1}{x}}$について以下の問いに答えよ．ただし，$\underset{x\to +0}{\lim }x{e}^{\frac{1}{x}}=\infty$を用いてよい．

(1)　$x=t$$\text{（}t\ne 0\text{）}$における曲線$C$の接線を$y=ax+b$とする．$a\text{，}$$b$を$t$を用いて表せ．

(2)　$t\to \infty$のときの$a\text{，}$$b$の極限値をそれぞれ$\alpha \text{，}$$\beta$とする．$\alpha \text{，}$$\beta$の値を求めよ．

(3)　(2)で求めた$\alpha \text{，}$$\beta$を用いて直線$l\text{：}y=\alpha x+\beta$を定義する．曲線$C$および直線$l$の概形を同一の$xy$平面上に描け．

(4)　$y\geqq x{e}^{\frac{1}{x}}$かつ$x>0$を満たす領域を$D$とする．領域$D$内を動く点$(x,y)$に対し$p={\displaystyle \frac{y-q}{x}}$とするとき，$p$のとり得る値の範囲を求めよ．ただし，$q$は定数である．