2019　奈良県立医科大学　前期医学科

【１】　以下の文章の空欄に適切な数を入れて文章を完成させよ．

　$1$から$9$までの数字が書かれたカードが各$1$枚，合計$9$枚箱に入っている．箱から同時に何枚かのカードを取り出す．取り出したカードに書かれた数の合計を$S$とする．

(1)　箱から$2$枚のカードを取り出すとき，$S$が$2$で割り切れる確率は$\boxed{\text{ア}}$である．

(2)　箱から$3$枚のカードを取り出すとき，$S$が$2$で割り切れる確率は$\boxed{\text{イ}}$である．

(3)　箱から$2$枚のカードを取り出すとき，$S$が$3$で割り切れる確率は$\boxed{\text{ウ}}$である．

(4)　箱から$3$枚のカードを取り出すとき，$S$が$3$で割り切れる確率は$\boxed{\text{エ}}$である．

(5)　箱から$3$枚のカードを取り出すとき，$S$が$6$で割り切れる確率は$\boxed{\text{オ}}$である．

【２】　以下の文章の空欄に適切な数，式または数学記号を入れて文章を完成させよ．

　$n$は$0$以上の整数とする．整数からなる数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$は${(3+\sqrt{5})}^n=a_n+b_n\sqrt{5}$を満たすとする．このとき，$a_0=\boxed{\text{ア}}\text{，}$$b_0=\boxed{\text{イ}}$であり，$\{a_n\}$と$\{b_n\}$は次の漸化式を満たす．

$a_{n+1}=\boxed{\text{ウ}}{a}_n+\boxed{\text{エ}}{b}_n\text{，}$

$b_{n+1}=a_n+\boxed{\text{オ}}{b}_n$

　ところで，${(3-\sqrt{5})}^n$を$a_n\text{，}$$b_n$を用いて表すと${(3-\sqrt{5})}^n=a_n-\boxed{\text{カ}}{b}_n$であることから，一般項は

$a_n=\boxed{\text{キ}}\text{，}$

$b_n=\boxed{\text{ク}}$

となる．$0$以上の実数$x$に対して，$x$を超えない最大の整数を$[x]$と表し，$x$の小数部分を$⟨x⟩=x-[x]$と表す．$x$が$0$以上の実数全体を動くとき，$⟨x⟩$の取り得る値の範囲は$\boxed{\text{ケ}}$である．$0<{(3-\sqrt{5})}^n<1$であることに注意すると，

$\underset{n\to \infty }{\lim }⟨{(3+\sqrt{5})}^n⟩=\boxed{\text{コ}}$

となることが分かる．

【３】　以下の文章の空欄に適切な数，式または数学記号を入れて文章を完成させよ．

　$xy$平面の原点を中心とする半径$\sqrt{2}$の円を$C_1\text{，}$原点で$y$軸に接し，中心の$x$座標が負である半径$1$の円を$C_2$とする．原点および$C_1$と$x$軸の交点を通る放物線$y=\sqrt{2}{x}^2+ax$が右図のように重なっている．このとき，$a=\boxed{\text{ア}}$で，この放物線と$x$軸で囲まれた図形の面積は$\boxed{\text{イ}}$である．また，$C_1$と$C_2$の$2$つの交点の座標は$\boxed{\text{ウ}}$で，扇形$A$の面積は$\boxed{\text{エ}}\text{，}$$C_1\text{，}$$C_2$と放物線で囲まれた図形$B$の面積は$\boxed{\text{オ}}$である．（脚註参照）

【４】　以下の文章の空欄に適切な数，式または数学記号を入れて文章を完成させよ．

　$xyz$空間の原点を中心とする球面$S$上に点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$があり，各点の座標はそれぞれ$(2,3,1)\text{，}$$(3,1,2)\text{，}$$(1,2,3)$である．点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を中心とする半径$t$の球面をそれぞれ$S_{\mathrm{A}}\text{，}$$S_{\mathrm{B}}\text{，}$$S_{\mathrm{C}}$とする．

(1)　$S_{\mathrm{A}}$と$S$の交わりが円となるための$t$の範囲は$\boxed{\text{ア}}<t<\boxed{\text{イ}}$である．この円を$C_{\mathrm{A}}$と表す．このとき，同様に$S_{\mathrm{B}}$と$S$の交わり$C_{\mathrm{B}}\text{，}$$S_{\mathrm{C}}$と$S$の交わり$C_{\mathrm{C}}$も円になる．以下では上記の$t$の範囲で考える．

(2)　円$C_{\mathrm{A}}$の半径は$\boxed{\text{ウ}}$である．

(3)　円$C_{\mathrm{A}}$と円$C_{\mathrm{B}}$が共有点をもつような半径$t$の最小値は$\boxed{\text{エ}}$で，その共有点の座標は$\boxed{\text{オ}}$である．

(4)　$3$つの円$C_{\mathrm{A}}\text{，}$$C_{\mathrm{B}}\text{，}$$C_{\mathrm{C}}$のすべてに共有される点が存在する場合を考える．そのような$t$の値はいくつかあり，そのうち最小のものは$t=\boxed{\text{カ}}$である．

【５】　以下の問いに答えよ．

　直線上で距離$L$だけ離れた$2$地点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を考える．時刻$t=0$に初速$c_{\mathrm{A}}$で$\mathrm{P}$を出発して$\mathrm{Q}$に向かって動き出した移動体$\mathrm{A}$の時刻$t$での速度が，$v_{\mathrm{A}}(t)=c_{\mathrm{A}}{e}^{-kt}$であるとする．ただし，$c_{\mathrm{A}}$も$k$も正の定数である．時刻$T$に$\mathrm{A}$がいる地点を$\mathrm{R}$とする．同時刻$T$に$\mathrm{R}$を出発し$\mathrm{Q}$に向かう移動体$\mathrm{B}$の，時刻$t$$\text{（}\geqq T\text{）}$での速度は$v_{\mathrm{B}}(t)=c_{\mathrm{B}}{e}^{-k(t-T)}$であるとする．ただし，$c_{\mathrm{B}}$は正の定数である．以下の問いに答えよ．

(1)　移動体$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の時刻$t$までの移動距離をそれぞれ$x_{\mathrm{A}}(t)\text{，}$$x_{\mathrm{B}}(t)$で表す．$t\geqq 0$に対し$x_{\mathrm{A}}(t)$を，$t\geqq T$に対し$x_{\mathrm{B}}(t)$を求めよ．さらに，移動体$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の移動可能距離の上限，すなわち以下に定義する量$L_{\mathrm{A}}\text{，}$$L_{\mathrm{B}}$を求めよ．

$L_{\mathrm{A}}=\underset{t\to \infty }{\lim }{x}_{\mathrm{A}}(t)\text{，}$$L_{\mathrm{B}}=\underset{t\to \infty }{\lim }{x}_{\mathrm{B}}(t)$

(2)　$L_{\mathrm{A}}<L\text{，}$$L_{\mathrm{B}}<L\text{，}$$L_{\mathrm{A}}+L_{\mathrm{B}}>L$の条件のもとで，移動体$\mathrm{B}$が$\mathrm{Q}$に到達する時刻を$t_0$とする．$t_0$が最小となるような$\mathrm{R}$が定まる．そのときの$\mathrm{PR}$間の距離を$L_{\mathrm{A}}\text{，}$$L_{\mathrm{B}}\text{，}$$L$を用いて表せ．