2019　奈良県立医科大学　後期医学科

【１】　実数$r$に対して，$r$を超えない最大の整数を$[r]$と表す．

(1)　‘正の実数$p$に対して，$2$次方程式$x^2+2[p]x+[p^2]=0$が相異なる$2$個の実数解を持つことは起こり得ない’ ことを証明せよ．

(2)　正整数$n$に対し，$k\geqq n$であって以下の条件(G)を満たす実数$k$全体のなす集合を$T_n$とする．

ー条件(G)：$2$次方程式$x^2+2[k]x+[k^2]=0$は実数解を持たない．

$T_n$の要素で最小のものを$n$を用いて表示せよ．

【２】　区間$0\leqq x\leqq 1$で定義された連続関数$f(x)$は以下の$2$条件をみたすものとする．

・条件(ⅰ)：任意の$0\leqq x\leqq 1$に対して$f(x)\geqq 0\text{．}$

・条件(ⅱ)：任意の$0\leqq \alpha <\beta \leqq 1$に対して，$f(\alpha )>f(\beta )\text{．}$

(1)　任意の$0\leqq p<q\leqq 1$に対して，以下の不等式が成り立つことを証明せよ．

${\displaystyle {\int }_p^q}f(x)\mathit{dx}>0$

(2)　$n$を正整数とする．任意の$0<b<1$に対して，以下の二つの不等式が成り立つことを証明せよ．

(ⅰ)　${\displaystyle {\int }_0^1}{f(x)}^n\mathit{dx}>b{f(b)}^n$

(ⅱ)　${\displaystyle {\int }_b^1}{f(x)}^n\mathit{dx}<(1-b){f(b)}^n$

(3)　任意の$0<a<1$に対して，以下の等式が成り立つことを証明せよ．

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{{\displaystyle {\int }_0^a}{f(x)}^n\mathit{dx}}{{\displaystyle {\int }_0^1}{f(x)}^n\mathit{dx}}}=1$

【３】　$i=\sqrt{-1}$を虚数単位とし，集合$M$を以下で定義する：

$M=\{z=a+bi|a\text{，}b\text{は整数}\}\text{．}$

(1)　$M$に属する複素数$z=a+bi$（$a\text{，}$$b$は整数）について，

${\displaystyle \frac{z}{i-1}}\in M$

となるために$a\text{，}$$b$がみたすべき必要十分条件を求めよ．

(2)　$M$に属する複素数$z$で，

${\displaystyle \frac{z-1}{i-1}}\in M\text{，}$かつ$\left|{\displaystyle \frac{z-1}{i-1}}\right|\geqq \left|z\right|$

となるようなものを全て求めよ．

(3)　$M$に属する$0$でない任意の複素数$z$は，$0$以上の整数$d\text{，}$および$0$以上$1$以下の整数$a_j$$\text{（}j=0\text{，}$$1\text{，}$$\cdots \text{，}$$d\text{），}$ただし$a_d=1$を用いて，

$z={\displaystyle \sum _{j=0}^d}{a}_j{(i-1)}^j$

の形にただ一つの方法で表せることを証明せよ．

【４】　$n$を$2$以上の整数とする．$1$から$n$までの相異なる$n$個の整数を横一列に並べて得られる順列$\sigma$に対して，左から$j$番目の数字を$\sigma (j)$と記す．このとき$\sigma (j)=j$をみたす整数$j$$\text{（}1\leqq j\leqq n\text{）}$の個数を$F(\sigma )$とする．さらに$1$から$n$までの順列$\sigma$全体のなす集合を$S$とする．順列$\sigma$が$S$全体を動くとき，$F(\sigma )$の総和${\displaystyle {\sum }_{\sigma \in S}}F(\sigma )$を$n$を用いて表せ．