2019　高知工科大学　前期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(1)　放物線$y=x^2-2ax+4a-1$の頂点の$y$座標が$2$以上$3$以下になるような定数$a$の値の範囲を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(2)　座標平面上の$3$点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(5,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(2,4)$を頂点とする三角形$\mathrm{OAB}$の内接円の半径を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(3)　変量$x$のデータが以下のように与えられている．

$0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$2\text{，}$$5$

$x$の分散を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(4)　$9$人の生徒を$2$人，$3$人，$4$人の$3$組に分ける方法は何通りあるか，

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(5)　$10$本のくじの中に当たりくじが$3$本ある．この中から，$3$本のくじを同時に引くとき，少なくとも$1$本が当たる確率を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(6)　正の整数$x$は$4$進法で${3a3}_{(4)}\text{，}$$5$進法で${2a0}_{(5)}$と表される．このとき$x$を$10$進法で表せ．ただし$a$は$0$以上$3$以下の整数とする．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(7)　和${\displaystyle \sum _{k=1}^{99}}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}}$を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(8)　${\log }_{2}7\text{，}$${\log }_{4}25\text{，}$${\log }_{8}27$の大小を不等号を用いて表せ．

【２】　$3$直線

$l_1\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{3}}x-{\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$$l_2\text{：}y=3x-3\text{，}$$l_3\text{：}y=-x+9$

に対し，$l_1$と$l_2$の交点を$\mathrm{A}\text{，}$$l_1$と$l_3$の交点を$\mathrm{B}\text{，}$$l_2$と$l_3$の交点を$\mathrm{C}$とする．次の各問に答えよ．

(1)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の座標をそれぞれ求めよ．

(2)　線分$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}$の長さをそれぞれ求めよ．

(3)　$\sin \mathrm{\angle BAC}$の値を求めよ．

(4)　三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径と中心の座標を求めよ．

【３】　$2$つの放物線$C_1\text{：}y=x^2+4\text{，}$$C_2\text{：}y=x^2$を考える．放物線$C_1$上に点$\mathrm{P}$をとり，その$x$座標を$p$とし，点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線を$l$とする．この直線$l$が放物線$C_2$と交わる$2$点のうち，$x$座標が小さい方の点を$\mathrm{A}\text{，}$もう一方の点を$\mathrm{B}$とし，点$\mathrm{A}$の$x$座標を$\alpha \text{，}$点$\mathrm{B}$の$x$座標を$\beta$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$p=1$とするとき，直線$l$の方程式を求めよ．また，$\alpha \text{，}$$\beta$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　(1)の直線$l$と放物線$C_2$で囲まれた図形のうち，$x\leqq 0$の範囲にある部分の面積を求めよ．

(3)　$p$を任意の実数とする．$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$における放物線$C_2$の接線をそれぞれ$l_1\text{，}$$l_2$とし，$l_1$と$l_2$の交点の$x$座標を$q$とする．$p$を用いた式で$q$を表せ．

(4)　(3)の$2$直線$l_1\text{，}$$l_2$と放物線$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(6)　平面ベクトル$\overrightarrow{a}=(3,4)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(-1,2)$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．ただし，$e$は自然対数の底である．

(7)　極限$\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\log (e+h)-1}{h}}$を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．ただし，$e$は自然対数の底である．

(8)　自然数$n$に対し，定積分${\displaystyle {\int }_1^e}{x}^n\log x\mathit{dx}$を求めよ．

【２】　$n$を正の整数とし，$1$から$n$まで異なる番号のついた$n$個のボールを$3$つの箱に分けて入れる方法の総数を$a_n$とする．ただし，箱の区別はつかないものとする．また，$1$つもボールが入らない箱があってもよいものとする．例えば，$a_1=1\text{，}$$a_2=2$である．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$a_3$を求めよ．

(2)　$a_4$を求めよ．

(3)　$n$を$2$以上の整数とする．$1$から$n-1$まで異なる番号のついた$n-1$個のボールが$3$つの箱に分けて入っているときは，次の$3$の状態がある．

(ⅰ)　ボールが入っていない箱が$1$つもない状態

(ⅱ)　ボールが入っていない箱が$1$つだけの状態

(ⅲ)　ボールが入っていない箱が$2$つある状態

これらの$3$つの状態について，番号$n$のボール$1$個を加えて入れる方法は何通りあるか．(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)のそれぞれについて答えよ（答のみでよい）．

(4)　$n\geqq 2$のとき，$a_{n-1}$を用いた式で$a_n$を表せ．

(5)　$a_n$を$n$の式で表せ．

【３】　関数$f(x)=-{(x-1)}^4+2{(x-1)}^3$に対し，曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形を$D$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　関数$y=f(x)$の増減とグラフの凹凸を調べて表にまとめよ．また，変曲点をもつ場合はその座標を求めよ．

(2)　図形$D$の面積を求めよ．

(3)　$1$より大きい定数$a$に対し，曲線$y=f(x)$上の点$(a,f(a))$における接線を考える．これらの接線のうちで，その傾きが最も大きいものを$l$で表す．直線$l$の方程式を求めよ．

(4)　図形$D$のうちで，(3)の直線$l$よりも上側にある部分の面積を求めよ．