2019　高知工科大学　後期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(1)　$x$の$2$次方程式$x^2-2kx+k+2=0$が異なる$2$つの実数解をもつような定数$k$の組の範囲を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(2)　実数$x\text{，}$$y$が$2x+y=3$を満たすとき，$x^2+y^2$の最小値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(3)　$a$が$5$個，$b$が$3$個，$c$が$2$個ある．これらすべてを$1$列に並べる並べ方は何通りあるか．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(4)　$4$個のさいころを同時に投げるとき，出る目の最小値が$2$である確率を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(5)　円$x^2-2x+y^2-4y-4=0$上の点$\mathrm{P}$$(x,y)$と点$\mathrm{A}$$(5,3)$との距離$\mathrm{PA}$の最小値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(6)　$4^{{\log }_{2}9}$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(7)　$0\leqq \theta <2\pi$のとき，方程式${\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}$を解け．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(8)　$n$を自然数とする．和$1+{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3^2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{3^n}}$を求めよ．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$があり，

$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=2\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=3\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-1$

とする．また，線分$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{H}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$は垂直であるとする．次の各問に答えよ．

(1)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$で表せ．

(3)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OH}}\right|$を求めよ．

(4)　三角形$\mathrm{OAH}$の面積を求めよ．

【３】　$f(x)$は$x$の整式で表される関数とする．このとき，$a$を実数として次の各問に答えよ．

(1)　曲線$y=f(x)$上の点$(a,f(a))$における接線$l_1$の方程式を，$a\text{，}$$f(a)\text{，}$$f^{\prime }(a)$を用いて表せ（答のみでよい）．

(2)　$2$点$\mathrm{A}$$(0,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(a,-1)$を結ぶ線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$線分$\mathrm{AB}$の垂直二等分線を$l_2$とする．点$\mathrm{M}$の座標と直線$l_2$の方程式を$a$を用いて表せ．

(3)　(1)の接線$l_1$が(2)の直線$l_2$と一致するとき，$f^{\prime }(a)$と$f(a)$を$a$を用いて表せ．

(4)　すべての実数$a$について，(1)の接線$l_1$が(2)の直線$l_2$と一致しているとする．このとき曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{C}$$(1,f(1))$に対し，曲線$y=f(x)$と線分$\mathrm{AC}$および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(7)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n+1}(\sqrt{n+3}-\sqrt{n})$を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(8)　関数$y=(-x^2-x-1)e^{-x}$の極小値を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

【２】　曲線$C_1\text{：}y=-x^2-3x\text{，}$$C_2\text{：}y=4\sqrt{x}$について，次の各問に答えよ．

(1)　曲線$C_1$上の点$(s,-s^2-3s)$における接線$l_1$の方程式を求めよ．

(2)　曲線$C_2$上の点$(t,4\sqrt{t})$$\text{（}t>0\text{）}$における接線$l_2$の方程式を求めよ．

(3)　(1)の接線$l_1$と(2)の接線$l_2$が一致するとき，その直線を$l$とする．直線$l$の方程式を求めよ．

(4)　(3)の直線$l$と曲線$C_1$および$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【３】　空間の$4$点$\mathrm{A}$$(3,0,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,3,1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(2,2,2)\text{，}$$\mathrm{D}$$(3,3,0)$に対し，次の各問に答えよ．

(1)　線分$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}$の長さをそれぞれ求めよ．

(2)　$\cos \mathrm{\angle BAC}$の値を求めよ．

(3)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

(4)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を通る平面に垂直なベクトルのうち，$x$成分が$1$であるものを求めよ．

(5)　四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．