2019　高知工科大学　AO経済・マネジメント学群MathJax

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(1)　和${\displaystyle \frac{1}{1\cdot 2}}+{\displaystyle \frac{1}{2\cdot 3}}+{\displaystyle \frac{1}{3\cdot 4}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{2018\cdot 2019}}$を計算せよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(2)　$x^6-64$を係数が実数の範囲で因数分解せよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(3)　$n$を正の整数とする．互いに区別のつかない$n$個のボールを，$4$つの箱$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$に分けて入れる方法は何通りあるか．ただし，ボールが$1$つも入らない箱があってもよいものとする．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(4)　$n$を正の整数とし，さいころを$n$回投げる．$n$回目にはじめて5以上の目が出る確率を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(5)　$x=1+i$は方程式$x^3-5x^2+8x-6=0$の$1$つの解である．この方程式の他の解をすべて求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(6)　${\tan }^{2}15\mathrm{°}$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(7)　$xy$平面上の放物線$y=x^2$上に$3$点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$があり，三角形$\mathrm{OAB}$は$1$辺の長さが$a$の正三角形である．$a$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(8)　曲線$y=|x^2-4|$$\text{（}0\leqq x\leqq 3\text{）}$と$x$軸，$y$軸，直線$x=3$で囲まれる$2$つの図形の面積の和を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(9)　$2$つの空間ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,2,2)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(3,4,5)$の両方に垂直で，大きさが$1$である空間ベクトルを$1$つ求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(10)　$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=2a_n+3$$\text{（}n\geqq 1\text{）}$で定まる数列の一般項$a_n$を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(11)　$3$次の項の係数が$1$の$3$次関数$f(x)$がある．$y=f(x)$のグラフは原点$(0,0)$を通り，点$(1,1)$において直線$y=1$と接する．$f(x)$を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(12)　和${\displaystyle \sum _{k=1}^6}{k}^k$を$10$で割った余りを求めよ．

【２】　$a\text{，}$$b$は実数の定数とする．$x$についての方程式

$4^x+a\cdot 2^{x+1}+4a^2-b=0$(＊)

を考える．次の各問に答えよ．

(1)　(＊)が$x=1$を解にもつとき，$a\text{，}$$b$の満たす関係式を求めよ．

(2)　(＊)が$x={\log }_{2}3$を解にもつとき，$a\text{，}$$b$の満たす関係式を求めよ．

(3)　(＊)が$x=1\text{，}$${\log }_{2}3$を解にもつとき，$a\text{，}$$b$の値を求めよ．

(4)　$t$についての$2$次方程式

$t^2+2at+4a^2-b=0$(＊＊)

が相異なる$2$つの実数解をもつための$a\text{，}$$b$の条件を求めよ．

(5)　$x$についての方程式(＊)が相異なる$2$つの実数解をもつための$a\text{，}$$b$の条件を求めよ．

【３】　素数は無限に存在することを以下のように２部に分けて証明した．これを読み，後の問に答えよ．

第１部自然数（正の整数）全体の集合を$A$で表す．$A$の部分集合$B$が有限個の要素からなるとき，$B$の要素の個数を$n(B)$で表す．$A$の部分集合$B\text{，}$$C$が有限個の要素からなるとき

$n(B\cup C)=n(B)+n(C)-n(B\cap C)$

であるから，とくに

$n(B\cup C)\leqq n(B)+n(C)\cdots \text{①}$

が成り立つ．同様に，$A$の部分集合$B_1\text{，}$$B_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$B_r$が有限個の要素からなるとき

$n(B_1\cup B_2\cup \cdots \cup B_r)$$\leqq n(B_1)$$+n(B_2)$$+\cdots +n(B_r)\cdots \text{②}$

が成り立つことがいえる．

第２部第1部を踏まえ，素数は無限に存在することを背理法によって証明する．

　素数が有限個しかないと仮定し，それらを小さい順に$p_1\text{，}$$p_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$p_r$（$r$は素数の個数）とする．例えば$p_1=2\text{，}$$p_2=3\text{，}$$p_3=5$であり，また$p_r$は(存在していると仮定している)最大の素数である．_(ア)$i=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$r$に対し，${p_i}^2$の倍数である自然数全体の集合を$S_i$とする．$S_i\subset A$である．$c=p_1{p}_2\cdots p_r$とおき，$c$以下の自然数全体の集合を$T$とする．$T\subset A$である．

　$n>c$をみたす任意の自然数$n$に対して，$n$が${p_i}^2$で割り切れるような番号$i$がとれる．なぜなら，$n$の素因数分解は

$n={p_1}^{e_1}{p_2}^{e_2}\cdots {p_r}^{e_r}$（$e_1\text{，}$$e_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$e_r$は$0$以上の整数）

の形になるが，どの$i$についても$n$が${p_i}^2$で割り切れないと仮定すると，$e_1\text{，}$$e_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$e_r$はすべて$1$以下となるので$n\leqq p_1{p}_2\cdots p_r$が成り立つことになり，_(イ)矛盾が生じるからである．よって$n>c$のとき，$n\in S_i$となる番号$i$がとれる．

　$A$の部分集合$B$と自然数$k$に対して，$B$の要素のうち$k$以下であるもの全体を$B^{(k)}$で表す（例えば$A^{(k)}=\{1,2,\cdots ,k\}$である）．すると$k$以下の自然数$n$に対して，$n\leqq c$なら$n\in T^{(k)}\text{，}$$n>c$ならある番号$i$について$n\in {S_i}^{(k)}$である．

　よって

$A^{(k)}={S_1}^{(k)}\cup {S_2}^{(k)}\cup \cdots \cup {S_r}^{(k)}\cup T^{(k)}$

が成り立つ．すると$\text{②}$より，任意の自然数$k$に対して

$k=n(A^{(k)})\leqq$_(ウ)$\underset{‾}{{\displaystyle \sum _{i=1}^r}n({S_i}^{(k)})+n(T^{(k)})\leqq {\displaystyle \sum _{i=1}^r}{\displaystyle \frac{k}{{p_1}^2}}+c}$$=k{\displaystyle \sum _{i=1}^r}{\displaystyle \frac{1}{{p_i}^2}}+c$

　すなわち

$1\leqq {\displaystyle \sum _{i=1}^r}{\displaystyle \frac{1}{{p_i}^2}}+{\displaystyle \frac{c}{k}}\cdots \text{③}$

が成り立つ．しかし，$p_i<d$$\text{（}i=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$r\text{）}$をみたす自然数$d$をとると

${\displaystyle \sum _{i=1}^r}{\displaystyle \frac{1}{{p_i}^2}}$ $<{\displaystyle \sum _{j=2}^d}{\displaystyle \frac{1}{j^2}}$$<{\displaystyle \sum _{j=2}^d}{\displaystyle \frac{1}{j(j-1)}}$$={\displaystyle \sum _{j=2}^d}({\displaystyle \frac{1}{j-1}}-{\displaystyle \frac{1}{j}})$$=1-{\displaystyle \frac{1}{d}}$

なので，不等式$\text{③}$は_(エ)$k>cd$のとき成り立たず，矛盾が生じる．

[設問]

(1)　不等式$\text{①}$に関して次の問に答えよ．$20$以下の自然数のうち，$2$の倍数からなる集合を$P\text{，}$$3$の倍数からなる集合を$Q$とする．$n(P)+n(Q)$と$n(P\cup Q)$をそれぞれ求め，どちらが大きいか述べよ．

(2)　(1)に加えて，$20$以下の自然数のうち，$5$の倍数からなる集合を$R$とする．$n(P)+n(Q)+n(R)$と$n(P\cup Q\cup R)$をそれぞれ求め，どちらが大きいか述べよ．

(3)　不等式$\text{②}$について，$r=3$のときは$\text{①}$を$2$回使って

$\begin{array}{ll}n(B_1\cup B_2\cup B_3)& =n((B_1\cup B_2)\cup B_3)\\ & \leqq n(B_1\cup B_2)+n(B_3)\\ & \leqq n(B_1)+n(B_2)+n(B_3)\cdots \text{④}\end{array}$

と導かれる．ここで，図１の斜線部$\text{（}{B}_1\cup B_2\cup B_3\text{）}$は図２の斜線部$\text{（}{B}_1\cup B_2\text{）}$と図３の斜線部$\text{（}{B}_3\text{）}$の和集合であることを使った．

$\text{④}$を導いたのと同様の考え方を用いて，$\text{②}$を$r=4$の場合に示せ．

(4)　下線部(ア)に関して，$S_1$の要素のうち，$50$以下のものをすべて挙げると

$4\text{，}$$8\text{，}$$12\text{，}$$16\text{，}$$20\text{，}$$24\text{，}$$28\text{，}$$32\text{，}$$36\text{，}$$40\text{，}$$44\text{，}$$48$

である．第２部で導入した記号を用いてかくと

${S_1}^{(50)}=\{4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48\}$

である．$S_2$の要素のうち，$50$以下のもの（つまり${S_2}^{(50)}$の要素)をすべて挙げよ．

(5)　下線部(ア)に関して，$S_3$の要素のうち，50以下のもの(つまり${S_3}^{(50)}$の要素)をすべて挙げよ．

(6)　下線部(イ)の理由をわかりやすく説明せよ．

(7)　下線部(ウ)について，$n({S_i}^{(k)})=a$とおく．${S_i}^{(k)}$の要素のうち，最大のものを$a\text{，}$$p_i$を用いて表せ．さらに，$n({S_i}^{(k)})\leqq {\displaystyle \frac{k}{{p_i}^2}}$となる理由をわかりやすく説明せよ．

(8)　下線部(エ)の理由をわかりやすく説明せよ．