2019　北九州市立大学　前期

【１】　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とおく．数列$\{a_n\}$と$\{S_n\}$は次の式を満たすとする．

$a_n=4n^2-S_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

また，数列$\{b_n\}$を$b_n=a_{n+1}-a_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$と定める．以下の問題に答えよ．

(1)　$a_1$と$a_2$を求めよ．

(2)　$a_{n+1}$を$a_n$と$n$を用いて表せ．

(3)　数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(4)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(5)　$S_n>1000$を満たす最小の$n$を求めよ．

【２】　関数$f(x)=x^{2n}+2x^n+{\displaystyle \frac{m}{3}}$と$g(x)=20nx$を考える．ただし，$m$と$n$は共に正の整数である．以下の問題に答えよ．

(1)　$n=1$とする．$x$の方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつとき，$m$を求めよ．

(2)　$n=1$とする．不等式${\displaystyle {\int }_0^m}f(x)\mathit{dx}\leqq {\displaystyle \frac{5m}{3}}$を満たすとき，$m$を求めよ．

(3)　$m$と$n$が$m^2+n^2+2mm-m-n-6=0$を満たすとき，$x\geqq -2$の範囲において$f(x)$の最小値を求めよ．

(4)　座標平面上の曲線$y=f(x)$と直線$y=g(x)$が$x=2$で接しているとき，$m$と$n$を求めよ．

【３】　三角形$\mathrm{ABC}$は，$\mathrm{\angle A}$が直角であり，$\mathrm{BC}=4$である．三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とする．$\mathrm{\angle AOC}$の二等分線と三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の弧$\mathrm{BAC}$との交点を$\mathrm{D}\text{，}$直線$\mathrm{BD}$と$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{E}\text{，}$直線$\mathrm{AB}$と$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．また，$\mathrm{\angle DOC}$の大きさを$\alpha$とし，$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{3}{4}}$とする．以下の問題に答えよ．

(1)　線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．

(2)　線分$\mathrm{CD}$と$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．

(3)　線分$\mathrm{DE}$の長さを求めよ．

(4)　三角形$\mathrm{AEF}$の外接円の半径$r$を求めよ．

【４】　数直線上の座標$x$の点を$\mathrm{T}(x)$で表す．ひとつのコマが点$\mathrm{T}(x)$に置かれているとき，ひとつのサイコロを投げて次のルールで移動する試行を考える．

ルール：$1$または$2$の目が出たらコマを点$\mathrm{T}(x+1)$に動かす．

$3$または$4$の目が出たらコマを点$\mathrm{T}(x+2)$に動かす．

$5$または$6$の目が出たらコマを点$\mathrm{T}(x)$のまま動かさない．

はじめに数直線上の原点$\mathrm{T}(0)$にコマを置きこの試行を$4$回繰り返した後に，コマが点$\mathrm{T}(n)$に置かれている確率を$p(n)$とする．ただし，$n$は$0\leqq n\leqq 8$を満たす整数である．さらに，ひとつのサイコロを投げたときの事象を次のようにおく．

$1$または$2$の目が出る事象を$\mathrm{A}\text{，}$

$3$または$4$の目が出る事象を$\mathrm{B}\text{，}$

$5$または$6$の目が出る事象を$\mathrm{C}\text{．}$

また，各々の確率を$P(\mathrm{A})\text{，}$$P(\mathrm{B})\text{，}$$P(\mathrm{C})$とする．以下の問題に答えよ．

(1)　確率$P(\mathrm{A})\text{，}$$P(\mathrm{B})\text{，}$$P(\mathrm{C})$を求めよ．

(2)　確率$p(0)\text{，}$$p(1)\text{，}$$p(2)\text{，}$$p(3)$を求めよ．

(3)　$4$回試行するとき，点$\mathrm{T}(1)$に少なくとも一度コマが置かれる確率を求めよ．

(4)　$4$回の試行後にコマが点$\mathrm{T}(6)$にある場合に，途中で点$\mathrm{T}(3)$に置かれている確率を求めよ．

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問１　$x={\displaystyle \frac{4}{\sqrt{3}＋1}}\text{，}$$y={\displaystyle \frac{4}{\sqrt{3}-1}}$のとき，$x+y$の値は$\text{ア}\text{，}$$xy$の値は$\text{イ}\text{，}$$x^4{y}^2+x^2{y}^4$の値は$\text{ウ}$である．

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問２　$2$次不等式$a{x}^2+bx+6>0$の解が$x<1\text{，}$$3<x$であるとき，定数$a$の値は$\text{エ}\text{，}$定数$b$の値は$\text{オ}$である．

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問３　三角形の$3$辺の長さが$a+3\text{，}$$9a\text{，}$$5a+6$であるとき，$a$の値の範囲は$\text{カ}$である．

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問４　$5$で割ると$1$余り，$7$で割ると$4$余る$4$桁の自然数の中で最小のものは$\text{キ}$である．

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問５　$6$人でじゃんけんを$1$回するとき，$2$人だけが勝つ確率は$\text{ク}\text{，}$あいこになる確率は$\text{ケ}$である．

【２】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問１　$2$次方程式$x^2-5mx+m+3=0$（$m$は実数）の$1$つの解が，他の解の$4$倍であるとき，定数$m$の値は$\text{サ}\text{，}$$\text{シ}$である．

【２】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問２　点$\mathrm{P}$が円$x^2+y^2+2x-4y+1=0$の円周上を動くとき，点$\mathrm{A}$$(3,0)$と点$\mathrm{P}$との距離の最大値は$\text{ス}$であり，最小値は$\text{セ}$である．

【２】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問３　$0\leqq \theta <2\pi$のとき，不等式$\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta >1$を満たす$\theta$の値の範囲は，$\text{ソ}\text{，}$$\text{タ}$である．

【２】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問４　$x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}=1＋\sqrt{2}$のとき，$x+x^{-1}$の値は$\text{チ}$であり，$x^{\frac{3}{2}}+x^{-\frac{3}{2}}$の値は$\text{ツ}$である．

【２】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問５　$a_1=1\text{，}$$a_2=6\text{，}$$a_3=16$を満たす数列$\{a_n\}$について，階差数列が等差数列であるときの数列$\{a_n\}$の一般項は$\text{テ}$であり，階差数列が等比数列であるときの数列$\{a_n\}$の一般項は$\text{ト}$である．

【３】　以下の問いに答えよ．答えを導く過程も示すこと．

問1　次の関数の導関数を求めよ．

$f(x)=x\log x$$\text{（}x>0\text{）}$

問2　次の値を求めよ．その際，$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{x}}=0$$\text{（}x>0\text{）}$であることを利用してもよい．

$\underset{x\to +0}{\lim }x\log x$

問3　次の関数の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，それらがわかるようにグラフをかけ．

$g(x)=-x\log x-(1-x)\log (1-x)$$\text{（}0<x<1\text{）}$

【４】　点$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内に$3$点$\mathrm{A}$$(1,1,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(4,1,2)\text{，}$$\mathrm{C}$$(3,3,3)$がある．以下の問いに答えよ．答えを導く過程も示すこと．

問１　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角を$\theta$とおくとき，$\cos \theta$の値を求めよ．

問２　点$\mathrm{C}$から線分$\mathrm{AB}$に垂線を下ろし，その垂線と線分$\mathrm{AB}$との交点を点$\mathrm{D}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

問３　$\mathrm{▵ABC}$の面積を求めよ．

問４　ある点$\mathrm{E}$があり，平面$\mathrm{ABC}$に対して垂直で，点$\mathrm{A}$を通る線分を$\mathrm{AE}$とする．四面体$\mathrm{ABCE}$の体積が${\displaystyle \frac{56}{3}}$となるとき，点$\mathrm{E}$の座標を求めよ．