2019　北九州市立大学　後期

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問１　$2$つの$2$次関数$f_1\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{4}}{(x-1)}^2\text{，}$$f_2\text{：}y=a{x}^2+b$がただ$1$つの共有点をもつとする．ただし，$a\ne 0\text{，}$$a\ne {\displaystyle \frac{1}{4}}$とする．このとき，共有点$\mathrm{P}$の座標を$b$を用いて表すと$(\text{ア},\text{イ})$である．$f_1\text{，}$$f_2$と$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とするとき，$\mathrm{QR}$の長さを$b$を用いて表すと$\text{ウ}$である．$\mathrm{PQ}=\mathrm{PR}$となるとき，$a=\text{エ}\text{，}$$b=\text{オ}$である．また，$\mathrm{\angle PQR}$が直角となるとき，$a=\text{カ}\text{，}$$b=\text{キ}$である．

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問２　赤い玉，白い玉，青い玉がそれぞれ$3$個ずつ入った袋がある．各玉には$1$つの文字が書いてある．赤い玉には$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$白い玉には$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$青い玉には$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{C}$という文字が書いてあるものとする．この袋から玉を$1$つずつ取り出す試行を$3$回続けて行う．ただし，赤い玉を取り出したときは袋に戻し，白い玉と青い玉のときには戻さないことにする．

(1)　$1$回目に赤い玉，$2$回目に白い玉，$3$回目に青い玉が出る確率は$\text{ク}$である．

(2)　$2$回目に取り出した玉に書いてある文字が$\mathrm{A}$である確率は$\text{ケ}$である．

(3)　$3$回続けて取り出した玉に書いてある文字がすべて$\mathrm{A}$である確率は$\text{コ}$である．

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問３　四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=1\text{，}$$\mathrm{\angle ABC}=45\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{\angle ACB}=60\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{\angle BAD}=105\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{\angle ADB}=45\mathrm{°}$とする．このとき，$\mathrm{AC}=\text{サ}\text{，}$$\mathrm{AD}=\text{シ}\text{，}$$\mathrm{CD}=\text{ス}$である．

【２】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(\cos \theta ,\sin \theta )\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(-\sin \theta ,\cos \theta )$がある$(\text{ただし，}0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\text{．}$ここで，点$\mathrm{P}$$(p_1,p_2)$と点$\mathrm{Q}$$(q_1,q_2)$をとる（ただし，$p_1>0\text{，}$$p_2>0\text{，}$$q_1>0\text{，}$$q_2>0\text{）．}$以下の問いに答えよ．答えを導く過程も記すこと．

問１　内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$をそれぞれ求めよ．

問２　実数$s\text{，}$$t\text{，}$$u\text{，}$$v$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=u\overrightarrow{\mathrm{OA}}+v\overrightarrow{\mathrm{0B}}$とする．$t$と$v$を$p_1\text{，}$$p_2\text{，}$$q_1\text{，}$$q_2\text{，}$$\theta$を用いて表せ．

問３　問２の$t\text{，}$$v$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OG}}=t\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=v\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおく．${\left|\overrightarrow{\mathrm{OG}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{OH}}\right|}^2$を$\theta$の関数として$f(\theta )$と表すとき，$f(\theta )$を$p_1\text{，}$$p_2\text{，}$$q_1\text{，}$$q_2\text{，}$$\theta$を用いて表せ．

問４　点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ$\mathrm{P}$$(2\sqrt{3}-1,2+\sqrt{3})\text{，}$$\mathrm{Q}$$(2\sqrt{3}+1,2-\sqrt{3})$とする．このとき，問３の$f(\theta )$を最小にする$\theta$の値を求めよ．

【３】　$0$以上の整数$n$に対して，${\alpha }_n={(-1+\sqrt{3}i)}^n$とし，${\beta }_n={\alpha }_{n+1}+{\alpha }_n$とする．ただし，$i$は虚数単位とする．以下の問いに答えよ．答えを導く過程も記すこと．

問１　${\beta }_0$の絶対値$\left|{\beta }_0\right|$と偏角$\arg {\beta }_0$を求めよ．

問２　${\beta }_n$の絶対値$\left|{\beta }_n\right|$と偏角$\arg {\beta }_n$を求めよ．

問３　$\left|{\beta }_n\right|>2000$を満たす最小の整数$n$を求めよ．