2019　慶応義塾大学　薬学部MathJax

【１】　以下の問の$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{ソ}}$にあてはまる適切な数，座標または式を，解答用紙の所定の欄にすべて記入しなさい．

(1)　$a$は，$-1<a<{\displaystyle \frac{1}{3}}$を満たす実数とする．

　${\displaystyle \frac{3+i}{\sqrt{a^2+2a+1}+\sqrt{9a^2-6a-1}i}}$が実数であるとき，$a$の値は$\boxed{\text{ア}}$である．

　ただし，$i$は虚数単位とする．

【１】　以下の問の$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{ソ}}$にあてはまる適切な数，座標または式を，解答用紙の所定の欄にすべて記入しなさい．

(2)　$a$は自然数とする．$a$が$2$つの不等式

$\{\begin{array}{l}\sqrt[3]{3}<\sqrt[6]{a}\\ \sqrt[6]{{(a^3)}^4\times a^2÷a^5}<24\sqrt{3}\end{array}$

を満たすとき，$a$の値は$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　以下の問の$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{ソ}}$にあてはまる適切な数，座標または式を，解答用紙の所定の欄にすべて記入しなさい．

(3)　数列$\{a_n\}$は，初項が$2\text{，}$公差が$1$の等差数列である．数列$\{b_n\}$を$b_1=1\text{，}{b}_{n+1}=a_n+b_n$と定めるとき，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{b_n}}$を求めると$\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】　以下の問の$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{ソ}}$にあてはまる適切な数，座標または式を，解答用紙の所定の欄にすべて記入しなさい．

(4)　自然数$x\text{，}y\text{，}z$は方程式

$15x+14y+24z=266$

を満たす．

(ⅰ)　$k=5x+8z$としたとき，$y$を$k$の式で表すと$y=\boxed{\text{エ}}$である．

(ⅱ)　$x\text{，}y\text{，}z$の組は$(x,y,z)=\boxed{\text{オ}}$である．

【１】　以下の問の$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{ソ}}$にあてはまる適切な数，座標または式を，解答用紙の所定の欄にすべて記入しなさい．

(5)　$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上に$2$つの直線$l_1\text{：}y=-3x+10$と$l_2\text{：}y=7x$がある．

　点$\mathrm{A}$は$2$直線$l_1\text{，}{l}_2$の交点である．点$\mathrm{B}$は，$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角が$45\mathrm{°}$となる直線$l_1$上の点である．

(ⅰ)　点$\mathrm{B}$の座標は$\boxed{\text{カ}}$である．

(ⅱ)　実数$s\text{，}t$に対して，点$\mathrm{P}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$で定める．$s\text{，}t$が$3$つの不等式$s\geqq 0\text{，}t\geqq 0\text{，}10s+6t\leqq 3$を満たすとき，点$\mathrm{P}$の存在する領域の面積は$\boxed{\text{キ}}$である．

【１】　以下の問の$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{ソ}}$にあてはまる適切な数，座標または式を，解答用紙の所定の欄にすべて記入しなさい．

(6)　関数$y=3\sqrt{3}{\sin }^2\theta +2\sqrt{3}{\cos }^2\theta +\sin \theta \cos \theta$がある．$\theta$が$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たすとき，

(ⅰ)　この関数を$y=a\sin 2\theta +b\cos 2\theta +c$で表すと，$a=\boxed{\text{ク}}\text{，}b=\boxed{\text{ケ}}\text{，}c=\boxed{\text{コ}}$となる．ただし，$a\text{，}b\text{，}c$は三角関数を含まない実数とする．

(ⅱ)　この関数の最大値は$\boxed{\text{サ}}$であり，そのとき$\theta =\boxed{\text{シ}}$である．また，最小値は$\boxed{\text{ス}}$であり，そのとき$\theta =\boxed{\text{セ}}$である．

【１】　以下の問の$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{ソ}}$にあてはまる適切な数，座標または式を，解答用紙の所定の欄にすべて記入しなさい．

(7)　正四角$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}\mathrm{ABCDE}$のすべての頂点は半径$3$の球面上にある．この正四角錐の体積$V$の最大値は$\boxed{\text{ソ}}$である．

【２】　以下の問の$\boxed{\text{タ}}\text{，}\boxed{\text{ト}}$にあてはまる適切な数を，解答用紙の所定の欄に記入しなさい．また，$\boxed{\text{チ}}\text{〜}\boxed{\text{テ}}$にあてはまる適切な文字を，解答用紙の所定の欄にあるアルファベットから選び，丸で囲みなさい．

　アルファベットが$1$文字ずつ書かれたカードがある．$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{E}$が書かれたカード$\boxed{\mathrm{C}}\text{，}\boxed{\mathrm{E}}$をそれぞれ$2$枚ずつ，$\mathrm{I}\text{，}N\text{，}\mathrm{S}$が書かれたカード$\boxed{\mathrm{I}}\text{，}\boxed{\mathrm{N}}\text{，}\boxed{\mathrm{S}}$をそれぞれ$1$枚ずつ，合計$7$枚のカードをすべて使用して，左から$1$列に並べて文字列を作る．

　作ることのできるすべての種類の文字列を，英和辞典の単語の順序に従って並べる．このとき，$n$番目にくる文字列を$a_n$とすると，

$a_1\text{：}\boxed{\mathrm{C}}\boxed{\mathrm{C}}\boxed{\mathrm{E}}\boxed{\mathrm{E}}\boxed{\mathrm{I}}\boxed{\mathrm{N}}\boxed{\mathrm{S}}$

$a_2\text{：}\boxed{\mathrm{C}}\boxed{\mathrm{C}}\boxed{\mathrm{E}}\boxed{\mathrm{E}}\boxed{\mathrm{I}}\boxed{\mathrm{S}}\boxed{\mathrm{N}}$

$a_3\text{：}\boxed{\mathrm{C}}\boxed{\mathrm{C}}\boxed{\mathrm{E}}\boxed{\mathrm{E}}\boxed{\mathrm{N}}\boxed{\mathrm{I}}\boxed{\mathrm{S}}$

$a_4\text{：}\boxed{\mathrm{C}}\boxed{\mathrm{C}}\boxed{\mathrm{E}}\boxed{\mathrm{E}}\boxed{\mathrm{N}}\boxed{\mathrm{S}}\boxed{\mathrm{I}}$

$a_5\text{：}\boxed{\mathrm{C}}\boxed{\mathrm{C}}\boxed{\mathrm{E}}\boxed{\mathrm{E}}\boxed{\mathrm{S}}\boxed{\mathrm{I}}\boxed{\mathrm{N}}$

$⋮$

となる．

(1)　作ることのできる文字列は，全部で$\boxed{\text{タ}}$通りである．

(2)　$a_{500}$の左から$2$番目の文字は$\boxed{\text{チ}}\text{，}4$番目の文字は$\boxed{\text{ツ}}\text{，}6$番目の文字は$\boxed{\text{テ}}$である．

(3)　$a_n\text{：}\boxed{\mathrm{S}}\boxed{\mathrm{C}}\boxed{\mathrm{I}}\boxed{\mathrm{E}}\boxed{\mathrm{N}}\boxed{\mathrm{C}}\boxed{\mathrm{E}}$であるとき，$n=\boxed{\text{ト}}$である．

【３】　以下の問の$\boxed{\text{ナ}}\text{〜}\boxed{\text{ヌ}}$にあてはまる適切な数または式を，解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

　$xy$平面上に直線$l\text{：}y=k$と，$x$の関数$f(x)=|x(x-2)|+|x(x-a)|$のグラフ$y=f(x)$がある．$a$と$k$は実数であり，$a$は不等式$a>2$を満たす．

(1)　$a=4$とする．直線$l$と$y=f(x)$のグラフが異なる$4$点で交わるとき，$k$の値の範囲は$\boxed{\text{ナ}}$である．

(2)　$k=f(a)$とする．直線$l$と$y=f(x)$のグラフが異なる$2$点で交わるとき，$a$の値の範囲は$\boxed{\text{ニ}}$である．

(3)　$a$の値が$\boxed{\text{ニ}}$を満たす最小の整数であるとき，$y=f(a)$と$y=f(x)$とで囲まれた部分の面積は$\boxed{\text{ヌ}}$である．