2019　慶応義塾大学　看護医療学部MathJax

【１】　以下の$\boxed{}$に最もふさわしい数または式などを解答欄に記入しなさい．

(1)　$11$で割ると$6$余り，$6$で割ると$3$余るような自然数を小さい方から$a_0\text{，}{a}_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_k\text{，}\cdots$と表す．$a_{30}=\boxed{\text{(ア)}}$である．

【１】　以下の$\boxed{}$に最もふさわしい数または式などを解答欄に記入しなさい．

(2)　整式$P(x)$を$x+2$で割ると$3$余り，$x+3$で割ると$-2$余る．$P(x)$を$(x+2)(x+3)$で割った余りは$\boxed{\text{(イ)}}$である．

【１】　以下の$\boxed{}$に最もふさわしい数または式などを解答欄に記入しなさい．

(3)　$A={\displaystyle \frac{\sqrt{-3}\sqrt{-2}+\sqrt{-2}}{a+\sqrt{-3}}}$が実数となるような$a$を定めると，$a=\boxed{\text{(ウ)}}$であり，$A=\boxed{\text{(エ)}}$である．

【１】　以下の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(4)　方程式${\log }_2(x+1)-{\log }_4(x+4)=1$の解は$x=\boxed{\text{(オ)}}$である．

【１】　以下の$\boxed{}$に最もふさわしい数または式などを解答欄に記入しなさい．

(5)　$a\text{，}b$を実数とし，$b>0$とする．方程式$x^3+a{x}^2+bx-7=0$の解が整数のみであるとき，その解をすべて求めると$\boxed{\text{(カ)}}$であり，$a=\boxed{\text{(キ)}}\text{，}b=\boxed{\text{(ク)}}$である．

【２】　以下の$\boxed{}$に最もふさわしい数または式などを解答欄に記入しなさい．

(1)　次の$2$つの条件を考える．

$p\text{：}{(x-1)}^2+{(y-1)}^2\leqq 4$

$q\text{：}\left|x\right|+\left|y\right|\leqq r$

ただし，$r>0$とする．$q$が$p$の必要条件であるような定数$r$の値の範囲は$\boxed{\text{(ケ)}}$である．また，$q$が$p$の十分条件であるような定数$r$の値の範囲は$\boxed{\text{(コ)}}$である．

【２】　以下の$\boxed{}$に最もふさわしい数または式などを解答欄に記入しなさい．

(2)　$1$辺の長さが$1$の正五角形$\mathrm{ABCDE}$に対し，対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BE}\text{，}\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点をそれぞれ$\mathrm{Y}\text{，}\mathrm{Z}$とする．$\mathrm{▵ACD}$と$\mathrm{▵DZC}$に着目すると，対角線の長さは$\boxed{\text{(サ)}}$であり，$\cos \mathrm{\angle CAD}=\boxed{\text{(シ)}}$である．また，線分$\mathrm{YZ}$の長さは$\boxed{\text{(ス)}}$である．

【２】　以下の$\boxed{}$に最もふさわしい数または式などを解答欄に記入しなさい．

(3)　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$は，

$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}=a_n+d$

$b_1=1\text{，}{b}_{n+1}=r{b}_n$

を満たしているとする．ただし，$d\text{，}r$は定数（$r\ne 0\text{，}1$）である．このとき，

$S_n=a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n$

とおくと，$S_n-r{S}_n=1+{\displaystyle \frac{dr}{1-r}}-\boxed{\text{(セ)}}\times r^n$である．$d=2\text{，}r=2$のとき，$S_{10}=\boxed{\text{(ソ)}}$である．

【２】　以下の$\boxed{}$に最もふさわしい数または式などを解答欄に記入しなさい．

(4)　$0\leqq \theta \leqq 2\pi$に対し，$f_m(\theta )={\displaystyle \sum _{k=0}^m}\cos (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{4}}k)$とする．$f_2(\theta )$の最大値は$\boxed{\text{(タ)}}$であり，このときの$\theta$は，$\theta =\boxed{\text{(チ)}}$である．また，$f_4(\theta )=\boxed{\text{(ツ)}}\times \sin \theta$である．

【３】　以下の$\boxed{}$に最もふさわしい数を解答欄に記入しなさい．

　大，小$2$つのさいころを同時に投げ，それぞれの出た目の数から$1$を引いた値を$x$成分，$y$成分とするベクトルを考える．例えば，大きいさいころの目が$4\text{，}$小さいさいころの目が$1$のとき，対応するベクトルは$(3,0)$になる．$i$回目の試行でできるベクトルを$\overrightarrow{a_i}=(x_i,y_i)$で表す．

(1)　$\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}+\overrightarrow{a_4}=(20,19)$となる確率を${\displaystyle \frac{\alpha }{6^{\beta }}}$と表すと，$\alpha =\boxed{\text{(テ)}}\text{，}\beta =\boxed{\text{(ト)}}$である．

(2)　$x$座標も$y$座標も整数である点を格子点と言う．点${\mathrm{A}}_1$を$\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_1}=\overrightarrow{a_1}\text{，}$点${\mathrm{A}}_2$を$\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_2}=\overrightarrow{a_2}$となるように定めるとき，${\mathrm{▵OA}}_1{\mathrm{A}}_2$の重心が格子点となる確率は$\boxed{\text{(ナ)}}$である．

(3)　$x_1=0$がわかっている下で，$\overrightarrow{a_1}\text{，}\overrightarrow{a_2}$が$1$次独立である確率は$\boxed{\text{(ニ)}}$である．

(4)　$\overrightarrow{a_1}\cdot \overrightarrow{a_2}=0$となる確率は$\boxed{\text{(ヌ)}}$である．

(5)　$\overrightarrow{a_1}=\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}$となる確率は$\boxed{\text{(ネ)}}$である．

【４】　以下の$\boxed{}$に最もふさわしい数または式などを解答欄に記入しなさい．

　$1$辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$の対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{O}$とする．正方形$\mathrm{ABCD}$を対角線$\mathrm{BD}$を折り目にして$\mathrm{\angle AOC}=\alpha$となるように折った．

(1)　このとき，$\overrightarrow{\mathrm{BC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}}=\boxed{\text{(ノ)}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\boxed{\text{(ハ)}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{BA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\boxed{\text{(ヒ)}}$である．また，$\mathrm{\angle ABC}=45\mathrm{°}$となるのは，$\cos \alpha =\boxed{\text{(フ)}}$のときである．

(2)　以下，$\alpha =60\mathrm{°}$とする．$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を含む平面の点$\mathrm{E}$をとる．$\overrightarrow{\mathrm{BE}}=s\overrightarrow{\mathrm{BA}}+t\overrightarrow{\mathrm{BC}}$と表したとき，$\overrightarrow{\mathrm{DE}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BA}}=\boxed{\text{(ヘ)}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{DE}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\boxed{\text{(ホ)}}$であり，$\overrightarrow{\mathrm{DE}}\perp \overrightarrow{\mathrm{BA}}$かつ$\overrightarrow{\mathrm{DE}}\perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$となるのは$s=\boxed{\text{(マ)}}$かつ$t=\boxed{\text{(ミ)}}$のときである．

【５】　以下の$\boxed{}$に最もふさわしい数または式などを解答欄に記入しなさい．また，(1)の(ⅲ)と(2)は指示に従って解答しなさい．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c$を実数とし，$a>0$とする．$f(x)=-a{x}^2+bx+c$とし，放物線$C\text{：}y=f(x)$を考える．

(ⅰ)　$C$が$x$軸と$2$つの交点をもつための必要十分条件は$\boxed{\text{(ム)}}$である．$C$の軸を$x=q$とすると，$q=\boxed{\text{(メ)}}$である．

(ⅱ)　$q\geqq 0$となる場合を考える．$t>q$に対し，点$(t,f(t))$における$C$の接線を$l_1$とすると，$l_1$と$y$軸の交点の$y$座標は$\boxed{\text{(モ)}}$となる．$l_1$とは異なる$C$の接線$l_2$と$y$軸の交点の$y$座標が$\boxed{\text{(モ)}}$になるとき，$l_2$と$C$の接点の$x$座標は$s=\boxed{\text{(ヤ)}}$である．

(ⅲ)　$C\text{，}{l}_1\text{，}y$軸が囲む部分の面積を$D_1$とし，$C\text{，}{l}_2\text{，}y$軸が囲む部分の面積を$D_2$とする．$D_1\text{，}{D}_2\text{，}$および比の値${\displaystyle \frac{D_1}{D_2}}$を求めなさい．ただし，求める過程も書きなさい．

【５】　以下の$\boxed{}$に最もふさわしい数または式などを解答欄に記入しなさい．また，(1)の(ⅲ)と(2)は指示に従って解答しなさい．

(2)　$2$つの$2$次関数$f_1(x)\text{，}{f}_2(x)$は

$f_1(0)=f_2(0)\text{，}{f_1}^{\prime }(0)={f_2}^{\prime }(0)\text{，}{f}_1(-2)=5\text{，}{f}_2(3)=0$

を満たすとする．また，$f_1(x)$は$x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$で最小値をとり，$f_2(x)$は$x=2$で最大値を取るとする．関数$f_3(x)$を

$f_3(x)=\{\begin{array}{ll}{f}_1(x)& x<0\\ f_2(x)& x\geqq 0\end{array}$

と定義する．$f_1(x)\text{，}{f}_2(x)$を求めなさい．ただし，求める過程も書きなさい．また，$y=f_2(x)$のグラフを描きなさい．