2019　慶応義塾大学　理工学部MathJax

【１】(1)　次の設問に答えなさい．

(ⅰ)　$x>0$に対し$\sqrt{x}\log x>-1$であることを示しなさい．ただし，自然対数の底$e$の値は$2.718\cdots$である．

(ⅱ)　(ⅰ)の結果を用いて$\underset{x\to +0}{\lim }x\log x=0$を示しなさい．

【１】(2)　複素数$z$が$|z-1|={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}}$および$|z^2-1|={\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たすとき，$z=\boxed{\text{(ア)}}$である．

【１】(3)　平面上のベクトル$(1,1)$を$\overrightarrow{a}$とし，実数$\theta$に対し$\overrightarrow{p}=(\cos \theta ,\sin \theta )$とする．実数$x$の関数${|x\overrightarrow{a}-\overrightarrow{p}|}^2$の導関数を$x$と$\theta$を用いて表すと，$\boxed{\text{(イ)}}$である．$\theta$が実数全体を動くとき，${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\sqrt{2}}{4}}}{\displaystyle \frac{(x\overrightarrow{a}-\overrightarrow{p})\cdot \overrightarrow{a}}{{|x\overrightarrow{a}-\overrightarrow{p}|}^2}}dx$の最大値は$\boxed{\text{(ウ)}}$である．

【２】　関数$f(x)$を次の式で定める．

$\{\begin{array}{ll}x\geqq 0\text{のとき}& f(x)=2x^2-4x\\ x<0\text{のとき}& f(x)=-{\displaystyle \frac{9}{8}}{x}^2-4x\end{array}$

(1)　$f(x)$のすべての極値の和は$\boxed{\text{(エ)}}$である．

(2)　曲線$y=f(x)$を$C$とする．点$(a,f(a))$における$C$の接線を$l_1$とする．ただし，$a$は$0$でない実数である．また，直線$l_2$を点$(a,f(a))$を通り$l_1$とは異なる曲線$C$の接線とし，$l_2$が曲線$C$と接する点の座標を$(b,f(b))$とする．$b$を$a$の式で表すと，$a>0$のとき$b=\boxed{\text{(オ)}}\text{，}a<0$のとき$b=\boxed{\text{(カ)}}$となる．

(3)　(2)で定めた直線$l_1$と直線$l_2$が垂直に交わるような$a$の値は全部で$4$つある．それら$4$つの中の最大値は$\boxed{\text{(キ)}}$であり，最小値は$\boxed{\text{(ク)}}$である．

【３】　$n$を$4$以上の自然数とする．数字の$1$から$n$が書かれたカードが$1$枚ずつ，合計$n$枚のカードが入った箱がある．この箱の中からカードを$1$枚ずつ取り出し，$3$つの連続した数字のカードが取り出されたところで終了する．ただし，一度取り出したカードは箱に戻さないものとする．例えば，$n=6$の場合で

$1\to 3\to 5\to 2$

の順で取り出したとき，$3$つの連続した数字$1\text{，}2\text{，}3$のカードが取り出されたので，$4$枚目で終了する．

(1)　$n=6$の場合を考える．$3$枚目で終了する確率は$\boxed{\text{(ケ)}}$であり，$5$枚目で終了する確率は$\boxed{\text{(コ)}}$である．$5$枚目で終了するという条件の下で，$5$枚目のカードに書かれた数字が$2$である条件付き確率は$\boxed{\text{(サ)}}$である．

(2)　$n\geqq 4$の場合を考える．$4$枚目で終了し，かつ，取り出したカードに書かれた$4$つの数字が連続している確率を$n$を用いて表すと$\boxed{\text{(シ)}}$となる．また，$4$枚目で終了する確率を$n$を用いて表すと$\boxed{\text{(ス)}}$となる．

【４】　正の実数$b$に対し，連立不等式$0\leqq y\leqq e^{-bx}\text{，}x\geqq 0$の表す領域を$D$とする．ただし，$e$は自然数の底である．図のように領域$D$内に長方形$R_1\text{，}{R}_2\text{，}{R}_3\text{，}\cdots$を次の規則に従って配置する．

1.　$R_1$は，領域$D$内に含まれ，下側の辺が$x$軸上にあり，左側の辺が$y$軸上にある長方形のうち，面積が最大となる長方形である．

2.　$R_2$は，領域$D$内に含まれ，下側の辺が$x$軸上にあり，左側の辺が$R_1$の右側の辺上にある長方形のうち，面積が最大となる長方形である．

3.　以降同様にして，$n=3\text{，}4\text{，}5\text{，}\cdots$に対し$R_n$は，領域$D$内に含まれ，下側の辺が$x$軸上にあり，左側の辺が$R_{n-1}$の右側の辺上にある長方形のうち，面積が最大となる長方形である．

長方形$R_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$の面積を$a_n$とする．

(1)　関数$f(x)=x{e}^{-bx}\text{（}x\geqq 0\text{）}$は，$x=\boxed{\text{(セ)}}$で最大値をとる．よって$a_1=\boxed{\text{(ソ)}}$である．

(2)　長方形$R_n$の右下の頂点の$x$座標$p_n$を$n$と$b$を用いて表すと$p_n=\boxed{\text{(タ)}}$である．求める過程を解答欄(2)に記入しなさい．

(3)　$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$を$n$と$b$を用いて表すと$\boxed{\text{(チ)}}$である．また，$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=1$となるとき，$b=\boxed{\text{(ツ)}}$である．

【５】　空間内の図形$\mathrm{O}‐\mathrm{ABCD}$は，$\mathrm{OA}=3$である正四角錐とする．ただし，正四角錐$\mathrm{O}‐\mathrm{ABCD}$とは，頂点が$\mathrm{O}\text{，}$底面が正方形$\mathrm{ABCD}$で$4$つの側面が合同な二等辺三角形となる四角錐のことをいう．

(1)　点$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABCD}$に垂線を下ろし，平面$\mathrm{ABCD}$との交点を$\mathrm{H}$とする．$\mathrm{\angle AOH}=\theta$としたとき，線分$\mathrm{AC}$の長さを$\theta$を用いて表すと$\boxed{\text{(テ)}}$である．また，正四角錐$\mathrm{O}‐\mathrm{ABCD}$の体積を$\theta$を用いて表すと$\boxed{\text{(ト)}}$である．

以下，$\mathrm{OA}=3$であり，$2$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}$は固定されているとする．

(2)　図形$\mathrm{O}‐\mathrm{ABCD}$が正四角錐であるという条件を満たしながら，$3$点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$が動くとき，正四角錐$\mathrm{O}‐\mathrm{ABCD}$の体積の最大値は$\boxed{\text{(ナ)}}$である．

(3)　正四角錐$\mathrm{O}‐\mathrm{ABCD}$の体積が$\boxed{\text{(ナ)}}$であるという条件を満たしながら，$3$点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$が動くとする．このとき，$\mathrm{▵OAC}$の周および内部が通過しうる範囲を$K_1\text{，}\mathrm{▵OAB}$の周および内部が通過しうる範囲を$K_2$とする．$K_1$の体積は$\boxed{\text{(ニ)}}$であり，$K_1$と$K_2$の共通部分の体積は$\boxed{\text{(ヌ)}}$である．