2019　慶応義塾大学　経済学部MathJax

【１】　座標平面上の直線$y=-\sqrt{3}x+6\sqrt{3}$を$l$とし，原点$\mathrm{O}\text{，}$点$\mathrm{P}(6,0)\text{，}$および$l$上の点$\mathrm{Q}$の$3$点を通る円を$C$とする．ただし，点$\mathrm{Q}$の$y$座標は正とする．

(1)　円$C$の中心が$x$軸上にあるとき，$C$の中心の$x$座標は$\boxed{\text{(1)}}$であり，このとき$\mathrm{\angle OQP}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(2)}}\pi }{\boxed{\text{(3)}}}}$となる．

(2)　円$C$の半径が$2\sqrt{3}$であるとき，$C$の中心の$y$座標は$\sqrt{\boxed{\text{(4)}}}$となる．このとき，点$\mathrm{Q}$の$y$座標は$\boxed{\text{(5)}}\sqrt{\boxed{\text{(6)}}}$である．

以下，$\mathrm{\angle OQP}={\displaystyle \frac{5\pi }{12}}$とする．

(3)　点$\mathrm{Q}$の$y$座標は$\boxed{\text{(7)}}-\boxed{\text{(8)}}\sqrt{\boxed{\text{(9)}}}$となる．

(4)　関係${\displaystyle \frac{5\pi }{12}}={\displaystyle \frac{\pi }{6}}+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$と加法定理から，$\sin {\displaystyle \frac{5\pi }{12}}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{(10)}}}+\sqrt{2}}{\boxed{\text{(11)}}}}$と求まる．円$C$の半径は$\boxed{\text{(12)}}(\sqrt{\boxed{\text{(13)}}}-\sqrt{\boxed{\text{(14)}}})$である．

【２】　赤，黄，白，黒の$4$種類の色の球が袋に合計$24$個入っているとする．この袋から球を$1$つ取り出して，色を調べてから袋に戻すことを試行という．以下(a)，(b)，(c)が成り立つとする．

(a)　試行を$1$回行うとき，赤または黄の球が取り出される確率は${\displaystyle \frac{1}{4}}$である．

(b)　試行を$2$回続けて行うとき，赤と黄の球がそれぞれ$1$回ずつ取り出される確率は${\displaystyle \frac{1}{36}}$である．

(c)　試行を$3$回続けて行うとき，白の球が$1$回，黒の球が$2$回取り出される確率は${\displaystyle \frac{49}{288}}$である．

(1)　試行を$2$回続けて行うとき，赤または黄の球が$1$回，かつ，白または黒の球が$1$回取り出される確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(15)}}}{\boxed{\text{(16)}}}}$である．

(2)　試行を$3$回続けて行うとき，$3$回とも赤の球，または，$3$回とも黄の球が取り出される確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(17)}}}{\boxed{\text{(18)}\text{(19)}\text{(20)}}}}$である．

(3)　袋に入っている黒の球は$\boxed{\text{(21)}\text{(22)}}$個，白の球は$\boxed{\text{(23)}}$個である．

(4)　試行を$4$回続けて行うとき，白の球がちょうど$2$回取り出される確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(24)}\text{(25)}}}{\boxed{\text{(26)}\text{(27)}\text{(28)}}}}$である．

【３】　$r$を$1$でない正の実数とし，数列$\{a_n\}$を，初項$a_1=r$および漸化式

$\{\begin{array}{l}{a}_{2n}=a_{2m-1}+2m+1\\ a_{2m+1}=r{a}_{2m}\end{array}\text{（}m=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．

(1)　$a_2=r+\boxed{\text{(29)}}\text{，}{a}_3=r^2+\boxed{\text{(30)}}r\text{，}{a}_4=r^2+\boxed{\text{(31)}}r+\boxed{\text{(32)}}$である．

(2)　$m\geqq 1$に対し，$b_m=a_{2m-1}$とおく．数列$\{b_m\}$は，初項$b_1=\boxed{\text{(33)}}r$および漸化式

$b_{m+1}=r(b_m+\boxed{\text{(34)}}m+\boxed{\text{(35)}})\text{（}m=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たす．さらに，$m\geqq 1$に対して$c_m={\displaystyle \frac{b_m}{r^m}}$とおくと，数列$\{c_m\}$の初項は$c_1=\boxed{\text{(36)}}\text{，}$隣り合う$2$項の差は$d_k=c_{k+1}-c_k={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(37)}}k+\boxed{\text{(38)}}}{r^k}}\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$なので，$m\geqq 2$ならば

$c_m=c_1+{\displaystyle \sum _{k=1}^{m+\boxed{\text{(39)}\text{(40)}}}}{d}_k={\displaystyle \sum _{l=1}^m}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(41)}}l+\boxed{\text{(42)}\text{(43)}}}{r^{l-1}}}$

となる．ここで

$1+(1-{\displaystyle \frac{1}{r}})c_m={\displaystyle \sum _{l=1}^m}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(44)}}}{r^{l-1}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(45)}}m-\boxed{\text{(46)}}}{r^m}}$

であるから

$c_m={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(47)}}(r^m-1)}{r^{m-2}{(r-1)}^2}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(48)}}m-\boxed{\text{(49)}}}{r^{m-1}(r-1)}}-{\displaystyle \frac{r}{r-1}}$

となる．この式は$m=1$のときも成り立つ．

(3)　$m\geqq 1$に対して，$a_{2m-1}=r^m{c}_m$より

$a_{2m-1}={\displaystyle \frac{1}{{(r-1)}^2}}\{r^{m+2}+r^{m+1}-(\boxed{\text{(50)}}m+\boxed{\text{(51)}})r^2+(\boxed{\text{(52)}}m-\boxed{\text{(53)}})r\}$

$a_{2m}={\displaystyle \frac{1}{{(r-1)}^2}}\{r^{m+2}+r^{m+1}-(\boxed{\text{(54)}}m+\boxed{\text{(55)}})r+(\boxed{\text{(56)}}m+\boxed{\text{(57)}})\}$

となる．

【４】　実数$x\text{，}y\text{，}z$は連立方程式

$\{\begin{array}{l}{2}^{x-1}+3^{y+3}+5^{z+2}=1\\ 2^{x+1}+3^{y+1}-5^{z+1}=1\end{array}$

を満たすとする．

(1)　$X=2^x$とおく．$3^y\text{，}{5}^z$を，それぞれ$X$を用いて表せ．さらに$x$の取りうる値の範囲を，${\log }_{2}5$と${\log }_{2}7$を用いて表せ．

(2)　整式$Y^3+Z^3$を，$P=Y+Z\text{，}Q=YZ$とおき，$P$と$Q$を用いて表せ．

(3)　${27}^y+{125}^z$が最小となるような$x$の値を，${\log }_{2}3\text{，}{\log }_{2}5\text{，}{\log }_{2}7$を用いて表せ．

【５】　四面体$\mathrm{OABC}$において，

$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=5\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=4\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=3\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=\sqrt{21}$

であるとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．以下，$\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}$はベクトル$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$の内積を表す．

(1)　$\overrightarrow{a}\cdot \stackrel{\to :}{b}$の値を求めよ．

以下，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}$であるとする．線分$\mathrm{BC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{M}$とし，直線$\mathrm{OA}$を$l_1\text{，}$直線$\mathrm{BC}$を$l_2$とするとき，$l_1$上の点$\mathrm{N}$に対して，$\mathrm{MN}\perp l_1$かつ$\mathrm{MN}\perp l_2$が成り立つとする．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=s\overrightarrow{a}$を満たす実数$s$を求めよ．さらに，$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．

(3)　${\left|\overrightarrow{\mathrm{MN}}\right|}^2$の値を求めよ．

(4)　直線$l_1$上の$2$点と直線$l_2$上の$2$点を頂点とする正四面体の一辺の長さ$d$を求めよ．

【６】　$F(x)$は$x$の$3$次式で，$x^3$の係数は$1$であるとし，$y=F(x)$で定まる曲線を$C$とする．${\alpha }_1<{\alpha }_2$を満たす実数${\alpha }_1\text{，}{\alpha }_2$に対して，曲線$C$は，$x$軸と$2$点$({\alpha }_1,0)\text{，}({\alpha }_2,0)$を共有し，さらに$x$軸は点$（{\alpha }_2,0)$における$C$の接線であるとする．

(1)　関数$F(x)$は$x=\alpha$において極大になり，$x=\beta$において極小になるとする．このとき$\alpha \text{，}\beta$を，それぞれ${\alpha }_1\text{，}{\alpha }_2$のみを含む式で表せ．必要ならば$x$の整式で表される関数$p(x)\text{，}q(x)$とそれらの導関数に関して成り立つ公式

${\{p(x)q(x)\}}^{\prime }=p^{\prime }(x)q(x)+p(x)q^{\prime }(x)$

を用いてもよい．

(2)　$f(x)=F^{\prime }(x)$とする．点$\mathrm{A}(\alpha ,F(\alpha ))$における曲線$C$の接線を$l$とし，$l$と$C$の共有点で$\mathrm{A}$と異なる点を$(\gamma ,F(\gamma ))$とする．このとき$f(\gamma )$を，$\alpha \text{，}\gamma$のみを含む式で表せ．さらに$\gamma$を，${\alpha }_1\text{，}{\alpha }_2$のみを含む式で表せ．

(3)　$x$軸，曲線$y=f(x)\text{，}$および直線$x=\gamma$で囲まれた$2$つの部分の面積の和$S$を，${\alpha }_1\text{，}{\alpha }_2$のみを含む式で表せ．また${{\alpha }_1}^2+1\leqq {\alpha }_2$が成り立つとき，$S$の最小値$T$を求めよ．