2019　慶応義塾大学　商学部MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$x>1$のとき，$4x^2+{\displaystyle \frac{1}{(x+1)(x-1)}}$の最小値は$\boxed{\text{(1)}}$で，そのときの$x$の値は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{(2)}}}}{\boxed{\text{(3)}}}}$である．

【１】　以下の問いに答えよ．

(ⅱ)　次の$2$式

$\{\begin{array}{l}p+q=7\\ 3^p\cdot 4^q=32\end{array}$

を満たす実数$p$と$q$を，$\alpha ={\log }_{2}3$を用いて表すと，

$p={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(4)}}}{\boxed{\text{(5)}}-\alpha }}\text{，}q={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(6)}}-\boxed{\text{(7)}}\alpha }{\boxed{\text{(8)}}-\alpha }}$

である．

【１】　以下の問いに答えよ．

(ⅲ)　$a\text{，}b\text{，}c$を整数とし，$a$を$2$以上$50$以下の偶数とする．$a\text{，}b\text{，}c$がこの順で等比数列であり，$b\text{，}c\text{，}{\displaystyle \frac{2}{9}}a$がこの順で等差数列であるとする．このような整数の組$(a,b,c)$を，解答用紙Bの(ア)欄にすべて記せ．

【２】　$\mathrm{AB}=7\text{，}\mathrm{AC}=6\text{，}\mathrm{BC}=8$である$\mathrm{▵ABC}$を考える．

(ⅰ)　$\mathrm{▵ABC}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(9)}\text{(10)}}\sqrt{\boxed{\text{(11)}\text{(12)}}}}{\boxed{\text{(13)}}}}$である．また，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の内積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(14)}\text{(15)}}}{\boxed{\text{(16)}}}}$である．

(ⅱ)　頂点$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{P}$とするとき，

$\overrightarrow{\mathrm{AP}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(17)}}}{\boxed{\text{(18)}\text{(19)}}}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$

である．また，$\mathrm{▵ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とするとき，

$\overrightarrow{\mathrm{AO}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(20)}\text{(21)}}}{\boxed{\text{(22)}\text{(23)}\text{(24)}}}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(25)}\text{(26)}}}{\boxed{\text{(27)}\text{(28)}}}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

と表せる．

(ⅲ)　点$\mathrm{Q}$を，$\mathrm{\angle B}$の外角の二等分線と$\mathrm{\angle C}$の外角の二等分線の交点とする．このとき，

$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(29)}}}{\boxed{\text{(30)}}}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(31)}}}{\boxed{\text{(32)}}}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

と表せる．

【３】　男子$7$人，女子$5$人の$12$人の中から$3$人を選んで第$1$グループを作る．次に，残った人の中から$3$人を選んで第$2$グループを作る．

(ⅰ)　第$1$グループの男子の数が

$0$人である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(33)}}}{\boxed{\text{(34)}\text{(35)}}}}\text{，}$

$1$人である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(36)}}}{\boxed{\text{(37)}\text{(38)}}}}\text{，}$

$2$人である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(39)}\text{(40)}}}{\boxed{\text{(41)}\text{(42)}}}}\text{，}$

$3$人である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(43)}}}{\boxed{\text{(44)}\text{(45)}}}}$

である．

(ⅱ)　第$1$グループも第$2$グループも男子の数が$1$人である確率は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(46)}}}{\boxed{\text{(47)}\text{(48)}}}}$

である．また，第$2$グループの男子の数が$1$人である確率は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(49)}}}{\boxed{\text{(50)}\text{(51)}}}}$

である．

(ⅲ)　第$2$グループの男子の数が$1$人であるとき，第$1$グループの男子の数も$1$人である確率は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(52)}}}{\boxed{\text{(53)}\text{(54)}}}}$

である．

【４】　関数$f(x)=x^3-12x^2+36x-14$を考える．曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(a,f(a))$と$\mathrm{Q}(b,f(b))$について

(条件１)　$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$は異なる$2$点である

(条件２)　曲線$y=f(x)$の$\mathrm{Q}$における接線が$\mathrm{P}$を通る

が成り立っているとする．

(ⅰ)　このとき，必ず$a\ne \boxed{\text{(55)}}$が成り立ち，$b$を$a$を用いて表すと，

$b=\boxed{\text{(イ)}}$

である．

(ⅱ)　さらに，曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{R}(c,f(c))$について

(条件３)　$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$は異なる$2$点である

(条件４)　曲線$y=f(x)$の$\mathrm{R}$における接線が，曲線$y=f(x)$の$\mathrm{Q}$における接線と平行である

が成り立っているとする．このとき，$c$を$a$を用いて表すと，

$c=\boxed{\text{(ウ)}}$

である．

(ⅲ)　上で求めた$b$と$c$について，$f(x)$の$b$から$c$までの定積分を$a$を用いて表すと，

${\displaystyle {\int }_b^c}f(x)dx=\boxed{\text{(エ)}}$

である．