2019　慶応義塾大学　環境情報学部MathJax

【１】　点$(x,y)$は，任意の実数${\theta }_1\text{，}{\theta }_2$に対して

$\{\begin{array}{l}c=\cos {\theta }_1+\cos {\theta }_2\\ y=\cos 2{\theta }_1+\cos 2{\theta }_2\end{array}$

をみたしている．このとき，$xy$平面において点$(x,y)$の存在しうる領域は

$\{\begin{array}{l}\boxed{\text{(1)}\text{(2)}}\leqq x\leqq \boxed{\text{(3)}\text{(4)}}\\ y\geqq \boxed{\text{(5)}}{x}^2+\boxed{\text{(6)}\text{(7)}}\\ y\leqq \boxed{\text{(8)}}{x}^2+\boxed{\text{(9)}}x+\boxed{\text{(10)}\text{(11)}}\\ y\leqq \boxed{\text{(12)}}{x}^2-\boxed{\text{(13)}}x+\boxed{\text{(14)}\text{(15)}}\end{array}$

であり，その面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(16)}\text{(17)}}}{\boxed{\text{(18)}\text{(19)}}}}$である．

【２】　$1$辺$1$メートルの立方体の箱$\mathrm{ABCD}‐\mathrm{EFGH}$がある．この箱は中空で，面$\mathrm{ABCD}$と面$\mathrm{EFGH}$は透明な素材でできていて光を通すが，その他の面は光を通さない．また，面の厚みは考慮しないことにする．

　いま，対角線$\mathrm{AG}$が平面$P$と垂直になるように平面$P$の上方にこの箱をおいた．

平面$P$が真上から垂直に光で照らされるとき，平面$P$上にできる立方体の影の外周は，$\boxed{\text{(20)}}$角形になり，その影の面積は，$\boxed{\text{(21)}\text{(22)}}\sqrt{\boxed{\text{(23)}\text{(24)}}}$平方メートルである．

　ここで，頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{G}\text{，}\mathrm{E}$をすべて含む平面を$Q$とし，対角線$\mathrm{AG}$の中点を$\mathrm{O}$とする．次に，平面$P$および$Q$を固定し，点$\mathrm{O}$を中心に，頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{G}\text{，}\mathrm{E}$を平面$Q$上に保ちながら，立方体を図のように$90\mathrm{°}$回転した．回転後に平面$P$上にできる立方体の影の面積は，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(25)}\text{(26)}}\sqrt{\boxed{\text{(27)}\text{(28)}}}}{\boxed{\text{(29)}\text{(30)}}}}$平方メートルである．

【３】　$xy$平面上で，原点を中心とする半径$1$の円$x^2+y^2=1$の周上の点$\mathrm{P}(a,b)$で$2$次曲線$y=x^2+px+q$が接している．すなわち点$\mathrm{P}$での円の接線と$2$次曲線の接線が一致している．点$\mathrm{P}$が第$1$象限にあり，${\displaystyle \frac{b}{a}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$とする．このとき

$p=\boxed{\text{(31)}\text{(32)}}\sqrt{\boxed{\text{(33)}\text{(34)}}}\text{，}q={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(35)}\text{(36)}}}{\boxed{\text{(37)}\text{(38)}}}}$

である．また，$2$次曲線，円周の第$1$象限の部分，$y$軸で囲まれる部分の面積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(39)}\text{(40)}}\sqrt{\boxed{\text{(41)}\text{(42)}}}}{\boxed{\text{(43)}\text{(44)}}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(45)}\text{(46)}}}{\boxed{\text{(47)}\text{(48)}}}}\pi$

である．

【４】　この問題では$2$進法で数を表記する場合には，${101}_{(2)}$のように，添字に$(2)$と書くことにする．添字のない数はすべて$10$進法表記の数である．また，解答欄に書く数字はすべて$10$進法表記で書くものとする．

(1)　$6$桁の$2$進法表記の数の中で，${101010}_{(2)}$のように$1$が$3$つ使われる数は$\boxed{\text{(49)}\text{(50)}}$個ある．なお，数の表記では先頭の$0$は省略するため，${001101}_{(2)}$は$6$桁の数ではなく$4$桁の数${1101}_{(2)}$である．

(2)　$10$桁の$2$進法表記の数の中で$1$が$4$つ使われる数をすべて合計すると$\boxed{\text{(51)}\text{(52)}\text{(53)}\text{(54)}\text{(55)}}$である．

(3)　$1000$以下の正の整数のうち，$2$進法で表記すると$1$が$4$つ使われる数は$\boxed{\text{(56)}\text{(57)}\text{(58)}}$個ある．

【５】　図のように，$1$つの正方形の中に，半径の異なる$3$種類の円が合計$10$個配置されている．

　円${\mathrm{A}}_1$と${\mathrm{A}}_2$は半径が同じ$R$で，それぞれ図のように正方形の$2$辺に内接している．円${\mathrm{B}}_1\text{，}{\mathrm{B}}_2\text{，}{\mathrm{B}}_3\text{，}{\mathrm{B}}_4\text{，}{\mathrm{B}}_5\text{，}{\mathrm{B}}_6$は半径が同じ$r$で，円${\mathrm{B}}_1$と${\mathrm{B}}_2$は接し，図のように両方とも円${\mathrm{A}}_1$に内接し円${\mathrm{A}}_2$に外接している．円${\mathrm{B}}_3$と${\mathrm{B}}_4$は接し，図のように両方とも円${\mathrm{A}}_1$と${\mathrm{A}}_2$に内接している．円${\mathrm{B}}_5$と${\mathrm{B}}_6$は接し，図のように両方とも円${\mathrm{A}}_1$に外接し円${\mathrm{A}}_2$に内接している．円${\mathrm{C}}_1$と${\mathrm{C}}_2$は半径が同じ$r^{\prime }$で，それぞれ図のように正方形の$2$辺に内接し，円${\mathrm{A}}_1$と${\mathrm{A}}_2$に外接している．なお，円${\mathrm{B}}_1\text{，}{\mathrm{B}}_2\text{，}{\mathrm{B}}_5\text{，}{\mathrm{B}}_6$は正方形の辺に接していない．

　このとき，正方形の$1$辺の長さを$s$とすると

$\{\begin{array}{l}R={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(59)}\text{(60)}}}{\boxed{\text{(61)}\text{(62)}}}}r\\ s={(\boxed{\text{(63)}\text{(64)}}\sqrt{R}+\boxed{\text{(65)}\text{(66)}}\sqrt{r^{\prime }})}^{\boxed{\text{(67)}\text{(68)}}}\\ r^{\prime }={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(69)}\text{(70)}}+\sqrt{10}+\boxed{\text{(71)}\text{(72)}}\sqrt{\boxed{\text{(73)}\text{(74)}}+5\sqrt{10}}}{\boxed{\text{(75)}\text{(76)}}}}r\end{array}$

である．

【６】　次のような$2$人で行うゲームがある．プレイヤーには$\mathrm{L}$と$\mathrm{F}$という$2$つの選択肢が与えられる．一方が$\mathrm{L}$を選び，他方が$\mathrm{F}$を選んだ場合，$\mathrm{L}$を選んだ方は$3$点，$\mathrm{F}$を選んだ方は$1$点を獲得する．両方ともに$\mathrm{L}$を選んだり，両方共に$\mathrm{F}$を選んだりした場合，両者の得点はともに$0$点であるとする．いま，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人がこのゲームを行い，$xy$平面上の点によって両者の得点を表すことにする．$\mathrm{A}$の得点を$x\text{，}\mathrm{B}$の得点を$y$とすると，このゲームで実現する点$(x,y)$は

$(3,1)\text{，}(1,3)\text{，}(0,0)$

の$3$点である．

　このとき，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$ともに$\mathrm{L}$を選ぶと$0$点となるので，$\mathrm{L}$を選ぶことは必ずしも得策ではない．そこで，$\mathrm{A}$および$\mathrm{B}$が$\mathrm{L}$を選ぶ確率をそれぞれ$p$および$q$としてみる．$p$と$q$を自由に動かしたときの$\mathrm{A}$の得点の期待値を$x\text{，}\mathrm{B}$の得点の期待値を$y$とすると，点$(x,y)$の集まりは，原点と$(3,1)$を結ぶ線分，原点と$(1,3)$を結ぶ線分，および$(3,1)$と$(1,3)$を結ぶある曲線$Z$で囲まれる領域となる．ただし，境界線を含む．

(1)　曲線$Z$上の点$(x,y)$は

${(x+\boxed{\text{(77)}\text{(78)}}y)}^{\boxed{\text{(79)}\text{(80)}}}=\boxed{\text{(81)}\text{(82)}}(x+\boxed{\text{(83)}\text{(84)}}y+\boxed{\text{(85)}\text{(86)}})$

をみたす．

(2)　$x$ 軸と平行な直線が曲線$Z$と接するとき，その接点は$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{(87)}\text{(88)}}}{\boxed{\text{(89)}\text{(90)}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(91)}\text{(92)}}}{\boxed{\text{(93)}\text{(94)}}}})$ である．