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2019-14991-0601
2019 関西大学 経済・商・政策創造・外国語・人間健康学部
2月3日実施
易□ 並□ 難□
【1】 p を素数とする.次の問いに答えよ.
(1) 分母が p である既約分数で, 0 より大きく 1 より小さいものの個数を求めよ.
(2) k を自然数とする.分母が p である既約分数で, k-1 より大きく k より小さいものの和 S k を求めよ.
(3) n を自然数とし, Sk を(2)で求めたものとする.和 ∑k= 1n Sk 求めよ.
2019-14991-0602
【2】 次の をうめよ.ただし, ① 〜 ③ は t の式で, ④ 〜 ⑥ は数値でうめよ.
t>1 とし,原点 O を中心とする半径 1 の円を C とおく.点 A ( t,0 ) と点 K ( 0,1 ) を通る直線と C との交点のうち, K と異なる点を P とおくと, P の x 座標は ① であり, y 座標は ② である.さらに, A と点 M ( 0,-1 ) を通る直線と C との交点のうち, M と異なる点を Q とおくと,線分 PQ の長さは ③ である.
t>1 より, π 4<θ < π2 を満たす θ を用いて, t=tan ⁡θ と表すことができる.このとき, ▵OPQ の面積を S とおくと, S= ④ ⁢sin⁡ 4⁢θ である.よって, θ= ⑤ のとき, S は最大値 ⑥ をとる.
2019-14991-0603
【3】 次の をうめよ.
空間内に 1 辺の長さが 1 の立方体 ABCD‐EFGH がある. p , q , r を 0 <p<1 , 0<q< 1 , 0<r <1 を満たす実数とし,辺 AB を p :(1 -p ) に内分する点を P , 辺 CG を q :(1 -q) に内分する点を Q , 辺 HE を r :(1 -r) に内分する点を R とする.このとき,ベクトル PQ → は,ベクトル AB→ , BC→ , CG → と p , q を用いて,
PQ→ =( ① ) ⁢AB→ +BC→ + ② ⁢CG →
と表される.同様にベクトル RP → は,ベクトル HE → , EA→ , AB→ と p , r を用いて,
RP→ =( ③ ) ⁢HE→ +EA→ + ④ ⁢AB →
と表される.したがって,内積 PQ→⋅ PR→ を p , q , r を用いて表すと ⑤ である.また,ベクトルの大きさ | PQ→ | を p , q を用いて表すと, ⑥ である.よって, p=q= r のとき, ▵PQR の面積を p を用いて表すと ⑦ であり,その最小値は ⑧ である.