2019　関西大　後期　理系学部3月4日実施MathJax

【１】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{{(\log x)}^2+4\log x+3}{x}}$$\text{（}x>0\text{）}$を考える．次の$\boxed{}$をうめよ．

　$f(x)=0$となる$x$をすべて求めると，$x=\boxed{\text{①}}$となる．$f(x)$の導関数を求めると

$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{②}}+1}{x^2}}$

となる．$f(x)$の第$2$次導関数を求めると

$f^{″}(x)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{③}}-4}{x^3}}$

となる．したがって，曲線$y=f(x)$の変曲点の$x$座標は$\boxed{\text{④}}\text{，}$$\boxed{\text{⑤}}$$\text{（}\boxed{\text{④}}<\boxed{\text{⑤}}\text{）}$である．

　不定積分${\displaystyle \int }f(x)\mathit{dx}$を求めると

${\displaystyle \int }f(x)\mathit{dx}=\boxed{\text{⑥}}+C$（$C$は積分定数）

となる．曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=\boxed{\text{④}}\text{，}$$x=\boxed{\text{⑤}}$で囲まれた$2$つの部分の面積の和を求めると，$\boxed{\text{⑦}}$となる．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　虚数単位を$i$で表す．複素数平面において，複素数$z$を表す点が原点を中心とする半径$1$の円$C_1$上を動くとする．このとき，点$i(z+1)$は，複素数$\boxed{\text{①}}$を表す点を中心とする半径$\boxed{\text{②}}$の円$C_2$上を動く．$C_1$の内部と$C_2$の内部の共通部分とその境界からなる図形の面積は$\boxed{\text{③}}$である．

　$C_1$と$C_2$の交点のうち，その点を表す複素数の実部が負となるものを$\mathrm{A}(\alpha )$とする．$\alpha =\boxed{\text{④}}$である．$C_1$上の点$\mathrm{A}$における接線を$l$とする．

　$0$でない複素数$w$に対して，$w$の編角を$\theta$$\text{（}0\leqq \theta <2\pi \text{）}$とする．$w^3$が正の実数になるような$\theta$は$\boxed{\text{⑤}}$である．$l$上の点を表す複素数で，その$3$乗が正の実数になるものを求めると，$\boxed{\text{⑥}}$となる．

【３】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　長方形$\mathrm{ABCD}$を底面とする四角錐$\mathrm{OABCD}$を考える．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく．$\overrightarrow{d}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$で表すと，$\overrightarrow{d}=\boxed{\text{①}}$となる．

　$0<s<1\text{，}$$0<t<1$とし，$\mathrm{OA}$上に$\mathrm{OA}$を$(1-s):s$に内分する点$\mathrm{P}$と，$\mathrm{OC}$上に$\mathrm{OC}$を$t:(1-t)$に内分する点$\mathrm{Q}$をとる．$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{D}$を通る平面上に点$\mathrm{R}$をとる．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{DR}}$は，ある実数$p\text{，}$$q$と$\overrightarrow{\mathrm{DP}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{DQ}}$を用いて

$\overrightarrow{\mathrm{DR}}=p\overrightarrow{\mathrm{DP}}+q\overrightarrow{\mathrm{DQ}}$

とかけるので，

$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=(\boxed{\text{②}})\overrightarrow{a}+(p+q-1)\overrightarrow{b}+(\boxed{\text{③}})\overrightarrow{c}$

である．

　$\mathrm{R}$が線分$\mathrm{OB}$上にあるとする．このとき

$\overrightarrow{\mathrm{OR}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{④}}}{1-s+st}}\overrightarrow{b}$

である．ただし，$\boxed{\text{④}}$は$p\text{，}$$q$を含まない式で答えよ．さらに，$s=t$としたとき，線分$\mathrm{OR}$の長さが最大になる$s$の値は$\boxed{\text{⑤}}$である．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\boxed{\text{⑥}}\overrightarrow{b}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　数列$\{a_n\}$が$a_1=1\text{，}$$a_2=2\text{，}$$a_n=r{a}_{n-2}$$\text{（}n=3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}$$\cdots \text{）}$によって定められている．ここで，$r$は$0$でない定数である．このとき

$a_{2n-1}+a_{2n}=\boxed{\text{①}}$

である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(2)　楕円${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$上の点$(-{\displaystyle \frac{a}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}b)$における接線$l$と$x$軸と$y$軸で囲まれた三角形の面積は$\boxed{\text{②}}$である．ただし，$a$と$b$は正の定数である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(3)　方程式$\sin 3x-4\sin x-1=0$$(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$を満たす$x$を求めると$x=\boxed{\text{③}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(4)　さいころを$2$回投げ，大きい方の目の数を$a\text{，}$小さい方の目の数を$b$とする．ただし，出た目の数が等しい場合には，$a\text{，}$$b$をともにその目の数とする．二項係数${}_{a}C_b$が，$4$の倍数または$5$の倍数になる確率は$\boxed{\text{④}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(5)　原点$\mathrm{O}$の座標平面に$2$点${\mathrm{A}}_1$$(1,\sqrt{3})\text{，}$$\mathrm{C}$$(4,0)$をとる．${\mathrm{A}}_1$から直線$\mathrm{OC}$に下ろした垂線を${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1$とし，${\mathrm{B}}_1$から直線${\mathrm{A}}_1\mathrm{C}$に下ろした垂線を${\mathrm{B}}_1{\mathrm{A}}_2$とする．さらに，${\mathrm{A}}_2$から直線$\mathrm{OC}$に下ろした垂線を${\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2$とする．同様の操作を繰り返すことにより，点${\mathrm{A}}_n\text{，}$${\mathrm{B}}_n$$\text{（}n=3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}$$\cdots \text{）}$をとる．このとき，線分${\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2$の長さは${\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2=\boxed{\text{⑤}}$である．また

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=1}^n}({\mathrm{A}}_k{\mathrm{B}}_k+{\mathrm{B}}_k{\mathrm{A}}_{k+1})=\boxed{\text{⑥}}$

である．