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2020-10007-0101
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2020 室蘭工業大学 前期
易□ 並□ 難□
【1】 a , b を定数とし, a>0 とする.関数 f ⁡( x) を
f ⁡( x)= x3- a⁢x2 +b⁢ x+a2 -2
と定める.また,曲線 y =f ⁡( x) 上の点 (1, 2) における接線 l の傾きを 4 とする.
(1) a , b の値を求めよ.
(2) 曲線 y =f ⁡( x) と接線 l の,点 (1, 2) 以外の共有点の座標を求めよ.
(3) 曲線 y =f ⁡( x) と接線 l で囲まれた部分の面積 S を求めよ.
2020-10007-0102
【2】 関数 f ⁡( x) を
f ⁡( x)= x 2+x- 2( 2⁢x+ 1)⁢ (x2 +x+1 )
と定める.
(1) f ⁡( x)= a 2⁢x+ 1+ b⁢ x+c x2+x +1 が成り立つように,定数 a , b , c の値を定めよ.
(2) 不定積分 ∫f ⁡( x)⁢ dx を求めよ.
(3) 定積分 ∫0π 2f ⁡( cos2⁡ x)⁢ sin⁡( 2⁢x) ⁢dx の値を求めよ.
2020-10007-0103
【3】 k を正の整数とする.各項が正の数である数列 {an } は
a1= e2 , an+ 1=e ⋅( an) k ( n=1 ,2 ,3 ,⋯ )
を満たすとする.ただし, e は自然対数の底とする.
(1) bn= log⁡an とおくとき,数列 {bn } の一般項を求めよ.ただし,対数は自然対数とする.
(2) 数列 {a n} の一般項を求めよ.
2020-10007-0104
【4】 方程式 z 2=2+ 5⁢i の 2 つの解を α , β とする.ただし, i は虚数単位とし, α の実部は正の実数とする.
(1) 2+5 ⁢i の極形式を
2+5 ⁢i=r ⁢(cos ⁡θ+i ⁢sin⁡θ )
とするとき, r , cos⁡θ および sin ⁡θ の値を求めよ.
(2) α , β を求めよ.
(3) 複素数平面上で α , β を表す点をそれぞれ A , B とする. AB を一辺とする正三角形 ABC の頂点 C を表す複素数を γ とする.このとき, γ をすべて求めよ.
2020-10007-0105
【5】 3 点 A (2 ,-1, 1) , B (-2 ,1,1 ), C (0, -1,2 ) の定める平面を α とする.
(1) 平面 α 上に点 P (0, y,3 ) があるとき, y の値を求めよ.
(2) 原点 O から平面 α に下ろした垂線と平面 α との交点 H の座標を求めよ.