2020　東北大学　後期MathJax

(2)　実数$x$に関する不等式$|-2x^2+x+6|-|3x|>0$を解け．

$l\text{：}x-4y=0$

$m\text{：}4x+3y-19=0$

$n\text{：}6x-5y=0$

直線$l$と$m$の交点を$\mathrm{A}\text{，}$直線$m$と$n$の交点を$\mathrm{B}\text{，}$直線$n$と$l$の交点を$\mathrm{C}$とする．点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{BC}$上を，端点$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$を除いて動くものとする．$\mathrm{P}$から$m$に下ろした垂線の長さを$d_1\text{，}$$\mathrm{P}$から$l$に下ろした垂線の長さを$d_2$とする．

(1)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の座標を求めよ．

(2)　$d_1$の値がとりうる範囲を求めよ．また，$d_2$の値がとりうる範囲を求めよ．

(3)　積$d_1{d}_2$の最大値を求めよ．

(1)　関数$g(x)\text{，}$$h(x)$を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$と放物線$y=h(x)$で囲まれる図形の面積を求めよ．

•$\mathrm{M}$が$\mathrm{A}$にいるとき，さいころをふって出た目の数が偶数なら$\mathrm{A}$にとどまり，そうでなければ$\mathrm{B}$に移る．

•$\mathrm{M}$が$\mathrm{B}$にいるとき，さいころをふって出た目の数が$1$または$2$であるなら$\mathrm{B}$にとどまり，そうでなければ$\mathrm{A}$に移る．

$n$は$1$以上の整数とし，$n$回目の試行の後で$\mathrm{M}$が$\mathrm{A}$にいる確率を$p_n$とし，$n$回目の試行の後で$\mathrm{M}$が$\mathrm{B}$にいる確率を$q_n$とする．

(1)　$p_{n+1}$を$p_n\text{，}$$q_n$を用いて表せ．また，$q_{n+1}$を$p_{\mathrm{n}}\text{，}$$q_n$を用いて表せ．

(2)　$p_n\text{，}$$q_n$を求めよ．

(1)　$m$が$3$の倍数でないならば，$(m+2)(m+1)$が$6$の倍数であることを示せ．

(2)　$m$が奇数ならば，$(m+3)(m+1)$が$8$の倍数であることを示せ．

(3)　$(m+3)(m+2)(m+1)$が$24$の倍数でないならば，$m$が偶数であることを示せ．

$a_k={\displaystyle {\int }_c^k}(12x-40)\mathit{dx}$

で定め，$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$に対し，

$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$

とおく．

(1)　$S_n$を$n$を用いて表せ．

(2)　$S_n$の最小値を求めよ．

(1)　直線$l$上の点$z$は常に，$\bar{\alpha }z+\alpha \bar{z}={\left|\alpha \right|}^2$を満たすことを示せ．

(2)　$\bar{\alpha }\beta$が実数でないことが，$l$と$m$が交点をもつための必要十分条件であることを示せ．また，$I$と$m$が交点をもつとき，交点を$\alpha \text{，}$$\beta$を用いて表せ．

(2)　正の整数$n$に対して

$I_n={\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{{(1+x^2)}^n}}$

とおく．このとき，$I_{n+1}$を$I_n$を用いて表せ．

(3)　定積分

${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{{(1+x^2)}^3}}$

の値を求めよ．