2020　福島大学　前期

【１】(1)　次の問いに答えなさい．

(ⅰ)　$5400$の正の約数の個数を求めなさい．

(ⅱ)　$5400$の正の約数の総和を求めなさい．

【１】(2)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{100}}{\displaystyle \frac{1}{(3n+2)(3n+5)}}$を計算しなさい．

【１】(3)　次の積分を計算しなさい．

(ⅰ)　${\displaystyle \int }2x\log |x+1|\mathit{dx}$

(ⅱ)　${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{x}{2\sqrt{x+1}}}\mathit{dx}$

【２】(1)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を正の実数とするとき，次の各不等式が成り立つことを証明しなさい．

(ⅰ)　${\displaystyle \frac{b}{a}}+{\displaystyle \frac{a}{b}}\geqq 2$

(ⅱ)　${\{{\displaystyle \frac{1}{3}}({\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}}\left)\right\}}^{-1}\leqq {\displaystyle \frac{a+b+c}{3}}$

【２】(2)　次の方程式，不等式を解きなさい．

(ⅰ)　${\tan }^{2}x-\sqrt{3}\tan x\leqq 0$$(0\leqq x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

(ⅱ)　$2\sqrt{3}\sin x\cos x+2{\cos }^{2}x=\sqrt{3}+1$$\text{（}0\leqq x<2\pi \text{）}$

【３】(1)　次の問いに答えなさい．

(ⅰ)　次の式を簡単にしなさい．

$({\log }_{3}2+1){\log }_{6}3\sqrt{3}$

(ⅱ)　次の方程式を解きなさい．

$2{\mathrm{1og}}_2(x-5)=3{\log }_8(x-3)$

【３】(2)　次の問いに答えなさい．

(ⅰ)　$\mathrm{OLYMPIC}$という単語の$7$文字のアルファベットすべてを使ってできる文字列の総数を求めなさい．

(ⅱ)　(ⅰ)のすべての文字列を辞書式に並べたとき，$\mathrm{OLYMPIC}$は何番目になるか求めなさい．

【４】　平行四辺形$\mathrm{OACB}$が，条件$\mathrm{OA}=\mathrm{BC}=4\text{，}$$\mathrm{OB}=\mathrm{AC}=3$を満たしながら動く．$\mathrm{\angle AOB}=\theta$とおくとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$\mathrm{B}$を通り$\mathrm{OC}$に垂直な直線と$\mathrm{OC}$またはその延長との交点を$\mathrm{P}$とする．実数$x$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=x\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と表すとき，$\cos \theta$の値を$x$を用いて表しなさい．

(2)　$\theta$が$0<\theta <\pi$を動くとき，$x$の取りうる値の範囲を求めなさい．

【５】　$k$は$0$以上の実数とする．関数$f(x)=x^3-6x^2+9x-k$について次の問いに答えなさい．

(1)　$f(x)=0$が実数解を$1$つのみもつような$k$の値の範囲を求めなさい．

(2)　$k$の値が(1)で求めた範囲であるとき，$f(x)=0$の実数解を$r\text{，}$残りの複素数解を$\alpha \text{，}$$\beta$とする．

(ⅰ)　$\alpha +\beta$と$\alpha \beta$を$r$の式で表しなさい．

(ⅱ)　複素数$\alpha \text{，}$$\beta$を$2$つの解とする二次方程式を求めなさい．

(3)　複素数平面上の$3$点$r\text{，}$$\alpha \text{，}$$\beta$を頂点とする三角形の面積が$18$であるとき，$r$の値及び$k$の値を求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(1)　$y={\log }_e({\log }_2{x}^3)$を微分しなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(2)　関数$f(x)=x^3-3x^2-9x$$(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq x\leqq 3)$の最大値を求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(3)　数列$\{r_n\}$に対して，次の条件によって定められる数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$がある．

$a_n={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{r}_k$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$b_1=0$

$b_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}(r_{n+1}-r_k)$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

　このとき，$a_{n+1}$を$n\text{，}$$a_n\text{，}$$b_{n+1}$を用いて表しなさい．

【２】　次の問いに答えなさい．

(1)　$2$進数${101101}_{(2)}$を$10$進法で表しなさい．

(2)　$k$進数${213}_{(k)}$を$10$進法で表すと，$139$である．このとき，$2$以上の自然数$k$を求めなさい．

(3)　$m$進数${120}_{(m)}$と$n$進数${203}_{(n)}$が等しい．また，$m$進数${33}_{(m)}$と$n$進数${102}_{(n)}$が等しい．このとき，$2$以上の自然数$m\text{，}$$n$をそれぞれ求めなさい．

【３】　赤玉，青玉，黄玉がそれぞれ$1$個ずつ入っている袋がある．この袋から玉を$1$個取り出し，色を見てからもとに戻す．この試行を$3$度繰り返し，取り出した$3$個の玉の色の組み合わせに応じて点数が得られるゲームを行う．$1$回のゲームで得られる点数は，$3$個の玉がすべて同じ色であったときは$a^2$点，$3$個の玉のうち$2$個のみが同じ色であったときは$a$点，$3$個の玉が全て違う色であったときは$1$点とする．ただし，$a$は自然数とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$1$回のゲームで取り出した$3$個の玉の色が全て異なる確率を求めなさい．

(2)　$1$回のゲームで取り出した$3$個の玉のうち，$2$個のみが同じ色となる確率を求めなさい．

(3)　$1$回のゲームで得られる点数の期待値$E$を，$a$を用いて表しなさい．

(4)　(3)の期待値$E$の値が$3$の倍数となる最小の$a$の値を求めなさい．

【５】　$x^2+y^2=1$$\text{（}x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0\text{）}$で表される弧について考える．弧上の$2$点$\mathrm{A}$$(1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,1)$に対して，弧$\mathrm{AB}$を$n$等分し，その分点を，点$\mathrm{A}$に近い方から順に${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{P}}_{n-1}$とする．ただし，${\mathrm{P}}_0\text{，}$${\mathrm{P}}_n$は，それぞれ点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とする．$1\leqq k\leqq n$とするとき，弧${\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_k$と弦${\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_k$で囲まれた図形の面積を$S_k\text{，}$三角形$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_k$の面積を$T_k$とする．なお，$\mathrm{O}$は原点とし，$n$は$2$以上の自然数とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$S_k\text{，}$$T_k$を，それぞれ$k$と$n$を用いて表しなさい．

(2)　$n=3$のとき，${\displaystyle \frac{1}{3}}{\displaystyle \sum _{k=1}^3}(T_k-S_k)$の値を求めなさい．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}(T_k-S_k)$の値を求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(1)　$2$次方程式$2x^2+3x+4=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}$$\beta$とする．このとき，${\alpha }^2+{\beta }^2$の値を求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(2)　$k$を正の定数とする．関数$f(x)=k{x}^2-2x+k^2-2k+3$の最小値が$1$であるときの$k$の値を求めなさい．

【２】　$L_1\text{：}4x+3y=24\text{，}$$L_2\text{：}3x-4y=0\text{，}$$L_3\text{：}x=0\text{，}$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$L_1\text{，}$$L_2$を図示しなさい．

(2)　$L_1\text{，}$$L_2\text{，}$$L_3$の$3$つの交点を通る円の中心の座標を求めなさい．

(3)　$L_1\text{，}$$L_2\text{，}$$L_3$で囲まれる三角形に内接する円の中心の座標を求めなさい．

【３】　$1$から$6$までの目がついた異なる色の$2$個のさいころを同時にふる．以下の問いに答えなさい．

(1)　$2$つの目の差の絶対値が$1$になる場合は何通りあるか．

(2)　$2$つの目の和が$3$の倍数になる場合は何通りあるか．

(3)　$2$つの目の積が偶数になる場合は何通りあるか．

【４】　点$\mathrm{A}$$(-2,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(2,0)$を通り，$2$つの放物線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-2\text{，}$$y=-x^2+4$で囲まれる部分の面積を$2$等分する放物線の式を求めなさい．