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2020-10270-0201
2020 お茶の水女子大学 前期理学部選択
理(数学科)学部-数学専門Ⓐ
理(物理学科・情報学科)学部-数学Ⓑ
易□ 並□ 難□
【1】 n を自然数とする.
(1) n≧3 のとき,不等式 2 n-1> n が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ.
(2) 自然数の組 a 1, a2 , ⋯, an が
a1+ a2+⋯ +an= a1⁢ a2⁢⋯ ⁢an
を満たしている.ただし, a1≦ a2≦⋯ ≦an とする.このとき, n≧4 ならば a1 =a2= 1 であることを示せ.
(3) 次を満たす自然数の組 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 をすべて求めよ.ただし, a1≦ a2≦ a3≦ a4≦ a5 とする.
a1+ a2+ a3+ a4+ a5= a1⁢ a2⁢ a3⁢ a4⁢ a5
2020-10270-0202
【2】 以下の問いに答えよ.
(1) 正弦,余弦の加法定理を用いることにより,次を示せ.ただし, a>0 , b>0 , a+b< π2 とする.
tan⁡( a+b) =tan ⁡a+tan⁡ b1-tan ⁡a⁢tan⁡ b
(2) y=tan⁡ x (- π2<x <π2 ) の逆関数を y =g⁡( x) とするとき, g⁡( 12 )+g ⁡( 13) =π4 が成り立つことを示せ.
(3) f⁡( t)=t -tan⁡t+ tan3 ⁡t3 (0≦t <π 2) とおく. f′⁡ (t) を計算し, 0≦t< π2 のときに f⁡ (t) ≧0 が成り立つことを示せ.
(4) 以上をもとに, π>3.11 を示せ.
2020-10270-0203
【3】 座標平面において点 P , Q がそれぞれ x 軸上, y 軸上にあって,線分 PQ の長さが 1 の状態を保ちながら動くものとする.
(1) 0<t< 1 となる t を固定する.線分 PQ を動かすとき PQ を t:1 -t に内分する点の軌跡の方程式を求めよ.
(2) 線分 PQ が通る座標平面上の領域の境界を表す方程式を求めよ.
(3) (2)の領域の境界の長さを求めよ.