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2020-10490-0101
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2020 愛知教育大学 前期
数学専修,数学専攻,情報専修,情報専攻,教育学(中等)
易□ 並□ 難□
【1】 袋 A には赤玉 2 個と白玉 4 個,袋 B には赤玉 2 個と白玉 3 個,袋 C には赤玉 4 個と白玉 2 個が入っている.袋 A から玉を 1 個取り出し,その玉が赤玉ならば袋 B から,白玉ならば袋 C から 2 個の玉を同時に取り出す.以下の問いに答えよ.
問1 取り出された 3 個の玉が, 3 個とも赤玉である確率を求めよ.
問2 取り出された 3 個の玉のうち, 2 個が赤玉で, 1 個が白玉である確率を求めよ.
問3 取り出された 3 個の玉のうち少なくとも 1 個が白玉であることがわかっているとき, 2 個が赤玉であり 1 個が白玉である条件付き確率を求めよ.
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【2】 原点を O (0,0 ,0) とする座標空間内に,点 A (6,12 ,10) を中心とし,半径が 15 の球面がある.この球面が x⁣y 平面と交わってできる円を C とする.以下の問いに答えよ.
問1 円 C の半径,および中心の座標を求めよ.
問2 点 P が円 C 上を動くとき, OP+PA を最小とする点 P の座標を求めよ.また,そのときの ▵OAP の面積を求めよ.
2020-10490-0103
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【3】 数列 { an} を
a1=1 , an+1 =n ⁢ann ⁢an+n +2 (n=1 ,2 ,3 ,⋯ )
で定める.以下の問いに答えよ.
問1 a2 , a3 , a4 の値を求めよ.
問2 一般項 an を推測し,それがすべての自然数 n について成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ.
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【4】 導関数の定義にしたがって,関数 cos⁡x の導関数が -sin⁡ x であることを示せ.ただし,必要があれば, limx→0 sin ⁡xx= 1 であることを証明なしに用いてよい.
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【5】 2 つの関数
f⁡(x )=log⁡ (x+ 54 ), g⁡(x )=|x |
に対し,合成関数 g⁡ (f⁡( x)) , f⁡(g ⁡(x) ) を考える.ただし, log は自然対数を表す.以下の問いに答えよ.
問1 関数 y=g ⁡(f⁡ (x) ) のグラフと関数 y=f ⁡(g⁡ (x) ) のグラフの共有点のうち, x 座標が負であるような点の座標を求めよ.
問2 問1で求めた点の x 座標を a とする.区間 a≦x ≦0 において,関数 y=g ⁡(f⁡ (x) ) のグラフと関数 y=f ⁡(g( x)) のグラフとで囲まれた部分の面積を求めよ.