2020　三重大学　前期

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$2$次関数$f(x)$で，$x=2$のとき極値$4$を取り，関数のグラフが点$(4,3)$を通るものを求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　$1$から$10$までの数字を$1$つずつ書いた$10$枚のカードがある．この中から同時に$2$枚のカードを取り出すとき，カードの数字の和が$16$以下となる確率を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(3)　$0\leqq \theta \leqq \pi$のとき$-4{\cos }^2\theta -4\sin \theta +6$の最大値と最小値，およびそのときの$\theta$の値を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(4)　${\log }_{\sqrt{2}}(x-3)-{\log }_2(x-3)>{\log }_{4}9$を満たす$x$の値の範囲を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(5)　平面上の$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$に対し，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=3\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=2\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=4$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=-\overrightarrow{\mathrm{OA}}+2\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる点$\mathrm{P}$に対し，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$および$\mathrm{▵OAP}$の面積を求めよ．

【２】　$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$が次の条件を満たしているとする．

$a_1={\displaystyle \frac{p}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}$$b_1=-{\displaystyle \frac{p}{2}}+{\displaystyle \frac{3}{4}}\text{，}$$b_2={\displaystyle \frac{1}{2}}$

$a_{n+1}={(a_n-b_n+1)}^2+p(a_n-b_n)+q$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$b_{n+1}={(a_n-b_n+1)}^2-p(a_n-b_n)-q$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

ただし，$p\text{，}$$q$は定数で$p\ne 0$とする．$u_n=a_n-b_n$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$q$を$p$を用いて表せ．

(2)　$u_{n+1}$を$u_n$と$p$を用いて表せ．

(3)　$u_n$を$n$と$p$を用いて表せ．

(4)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}(a_k+b_k)$を求めよ．

【３】　$f(x)=x|x-2|$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq 3$の範囲で$y=f(x)$のグラフを描け．

(2)　$0\leqq t\leqq 2$の範囲で$g(t)={\displaystyle {\int }_t^{t+1}}f(x)\mathit{dx}$を求めよ．

(3)　$g(t)$は(2)で与えたものとする．$0\leqq t\leqq 2$の範囲で$g(t)$の極大値を与える$t\text{，}$および極小値を与える$t$があれば求めよ．

【３‐１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}\sin 2t\mathit{dt}$を求めよ．

(2)　$g(x)={\displaystyle {\int }_0^x}t\sin t\mathit{dt}$を求めよ．

(3)　$f(x)\text{，}$$g(x)$を(1)，(2)で与えたものとする．$-\pi \leqq x\leqq \pi$の範囲で$h(x)=f(x)+g(x)+{\displaystyle \frac{\cos 2x}{2}}-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$の極値を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(3)　すべての実数$x$に対し$2^{3x}\geqq 3\cdot 2^x-a$が成り立つような$a$の値の範囲を求めよ．

【２】　$\alpha$を複素数とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$z$が$z^4+\alpha z^3+{\alpha }^2{z}^2+{\alpha }^{3}z+{\alpha }^4=0$を満たすとき，$z^5={\alpha }^5$を示せ．

(2)　$\alpha \ne 0$とし，$z^5={\alpha }^5$を満たす$z$で，$\alpha$でないものを$z_1\text{，}$$z_2\text{，}$$z_3\text{，}$$z_4$とおく．このとき$z_1+z_2+z_3+z_4$と$z_1{z}_2{z}_3{z}_4$を$\alpha$を用いて表せ．

(3)　$z_1\text{，}$$z_2\text{，}$$z_3\text{，}$$z_4$は(2)で与えられたものとする．$\alpha =1+2i$のとき$|\alpha -z_1||\alpha -z_2||\alpha -z_3||\alpha -z_4|$を求めよ．

【３】　$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}t\sin (2t-x)\mathit{dt}$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　$f\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)\text{，}$$f(\pi )$を求めよ．

(2)　$f(x)$を求めよ．

(3)　$-\pi \leqq x\leqq \pi$の範囲で関数$g(x)=2{\displaystyle {\int }_0^x}t\sin (2t-x)\mathit{dt}-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$の極値を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$n$を自然数とする．$1$から$2n$までの数字を$1$つずつ書いた$2n$枚のカードがある．この中から同時に$2$枚を取り出すとき，カードの数字の差の絶対値が$n$以下となる確率を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(5)　実数$a$に対し$f(x)=x^3+(\sin a+1)x^2+e^{a}x\text{，}$$g(x)=x^2+e^{a}x+e^a$とする．このとき整式$f(x)$を$g(x)$で割った余り$r(x)$を求めよ．また$a$が正のとき$f(x)$は$g(x)$で割り切れないことを示せ．

【２】　$\alpha$を複素数とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$z$が$z^4+\alpha z^3+{\alpha }^2{z}^2+{\alpha }^{3}z+{\alpha }^4=0$を満たすとき，$z^5={\alpha }^5$を示せ．

(2)　$\alpha \ne 0$とし，$z^5={\alpha }^5$を満たす$z$で，$\alpha$でないものを$z_1\text{，}$$z_2\text{，}$$z_3\text{，}$$z_4$とおく．このとき$z_1+z_2+z_3+z_4$と$z_1{z}_2{z}_3{z}_4$を$\alpha$を用いて表せ．

(3)　$z_1\text{，}$$z_2\text{，}$$z_3\text{，}$$z_4$は(2)で与えられたものとする．$\alpha =1+2i$のとき$|\alpha -z_1||\alpha -z_2||\alpha -z_3||\alpha -z_4|$と$|\alpha ＋z_1||\alpha ＋z_2||\alpha ＋z_3||\alpha ＋z_4|$を求めよ．

【３】　$I_n={\displaystyle {\int }_0^1}\sqrt{x}{(1-x)}^{n+\frac{1}{2}}\mathit{dx}$$\text{（}n=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{）}$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　$S={\displaystyle {\int }_0^1}\sqrt{1-t^2}\mathit{dt}$として，$I_0$の値を$S$で表せ．

(2)　$I_0$の値を求めよ．

(3)　$n\geqq 1$のとき，$I_n$を$I_{n-1}$で表し，${\displaystyle \frac{I_n}{I_0}}\leqq {\displaystyle \frac{3}{2n+4}}$を示せ．