2020　愛媛大学　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$3$個のさいころを同時に投げるとき，少なくとも$2$個のさいころの目が一致する確率を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　座標平面において，連立不等式

$x+y\leqq 2\text{，}$$0\leqq x\leqq y$

の表す領域を図示せよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(3)　不等式$4^x+2^{x+2}-32\leqq 0$を解け．

【１】　以下の問いに答えよ．

(4)　実数$\theta$が$0<\theta <2\pi \text{，}$$\cos \theta =-{\displaystyle \frac{4}{5}}$を満たすとき，$\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$の値を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(5)　最大公約数が$24$で，最小公倍数が$432$であるような$2$つの自然数$a\text{，}$$b$の組$(a,b)$をすべて求めよ．ただし，$a\leqq b$とする．

【２】　放物線$y=x^2$上の点$(a,a^2)$における接線を$l$とする．ただし，$a$は正の実数とする．以下の問いに答えよ．

(1)　接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　放物線$y=x^2\text{，}$接線$l\text{，}$および$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

(3)　接線$l$に垂直で，放物線$y=x^2$に接する直線を$m$とする．

(ⅰ)　直線$m$の方程式，および直線$m$と放物線$y=x^2$の接点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(ⅱ)　接線$l$と直線$m$の交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

【３】　原点を$\mathrm{O}$とする座標空間に$2$点$\mathrm{A}$$(2,1,-1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-1,2,2)$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$の大きさ$\left|\overrightarrow{a}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|$および内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．

(2)　$\mathrm{▵OAB}$の面積を求めよ．

(3)　点$\mathrm{C}$は次の条件(a)，(b)，(c)をすべて満たすとする．

(a)　直線$\mathrm{OC}$は，$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$で定まる平面に垂直である．

(b)　線分$\mathrm{OC}$の長さは$5\sqrt{2}$である．

(C)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とベクトル$\overrightarrow{e}=(1,0,0)$とのなす角は，$0$以上，${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$以下である．

　また，$0<t<1$を満たす実数$t$に対して，線分$\mathrm{AB}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．

(ⅰ)　点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．

(ⅱ)　点$\mathrm{D}$の座標を$t$を用いて表せ．

(ⅲ)　$\mathrm{▵OCD}$の面積を最小にする$t$の値を求めよ．

【４】　座標平面上で$x$座標，$y$座標がともに整数である点$(x,y)$のことを格子点という．以下において，格子点から格子点へと移動していく点$\mathrm{P}$を考える．

　格子点$(x,y)$にいる点$\mathrm{P}$は，$1$回の移動で，格子点$(x+1,y)\text{，}$$(x-1,y)\text{，}$$(x,y+1)\text{，}$$(x,y-1)$のいずれかに移る．これらの移動をそれぞれ，右への移動，左への移動，上への移動，下への移動という．

　$\mathrm{P}$は，はじめ格子点$(1,1)$にあり，次の規則(★)に従って別の格子点へ移動していく．

(★)　$\mathrm{P}$は格子点$(1,1)$から右へ$1$回，上へ$1$回，左へ$1$回，上へ$1$回，右へ$2$回，下へ$2$回，順に移動し，格子点$(3,1)$にたどり着く．以降同様に，$m=2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$\cdots$に対して，$\mathrm{P}$は格子点$(2m-1,1)$から右へ$1$回，上へ$(2m-1)$回，左へ$(2m-1)$回，上へ$1$回，右ヘ$2m$回，下へ$2m$回，順に移動し，格子点$(2(m+1)-1,1)$にたどり着く．

　次に，$x$座標，$y$座標がともに自然数である格子点に番号を付ける．まず，$\mathrm{P}$がはじめにいた格子点$(1,1)$に番号$1$番を付ける．その後，$\mathrm{P}$が通った格子点に，順に番号$2$番，$3$番，$4$番，$\cdots$を付ける．右の図は，$\mathrm{P}$の格子点$(1,1)$から格子点$(4,1)$までの移動と，番号$1$番から$10$番までの番号付けを表したものである．

　以下の問いに答えよ．

(1)　次の$$に適する数または式を，解答用紙の指定のところに記入せよ．

(ⅰ)　格子点$(5,3)$に付けられた番号は$\text{ア}$番である．

(ⅱ)　$n$を自然数とする．格子点$(2n,1)$に付けられた番号は$\text{イ}$番であり，格子点$(1.2n+1)$に付けられた番号は$\text{ウ}$番である．

(2)　自然数$n$に対して，格子点$(n,n)$に付けられた番号を$a_n$番とする．

(ⅰ)　$a_n$を$n$を用いて表せ．

(ⅱ)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$を求めよ．

(3)　番号$2020$番が付いた格子点の座標を求めよ．

【５】　以下の問いに答えよ．

(2)　極限$\underset{x\to -\infty }{\lim }(\sqrt{9x^2+x}+3x)$を求めよ．

【５】　以下の問いに答えよ．

(3)　座標平面上を運動する点$\mathrm{P}$$(x,y)$があり，$x$座標および$y$座標が時刻$t$の関数として

$x=\sin 2t\text{，}$$y=\sin 3t$

で与えられているとする．時刻$t={\displaystyle \frac{\pi }{12}}$における点$\mathrm{P}$の速度$\overrightarrow{v}$および加速度$\overrightarrow{a}$を求めよ．

【５】　以下の問いに答えよ．

(4)　不定積分${\displaystyle \int }x\cos (x^2)\mathit{dx}$を求めよ．

【５】　以下の問いに答えよ．

(5)　さいころを$4$回続けて投げる．出た目の和が$7$以上である確率を求めよ．

【６】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，曲線$y=x{(\log x)}^2$$\text{（}x>0\text{）}$を$C$とする．$C$の変曲点を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{OP}$と$C$との交点のうち，$\mathrm{P}$と異なる点を$\mathrm{Q}$とする．また，$C$上の点$\mathrm{Q}$における接線を$l$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　関数$y=x{(\log x)}^2$$\text{（}x>0\text{）}$の導関数$y^{\prime }$と第$2$次導関数$y^{″}$を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$および点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(3)　接線$l$の方程式を求めよ．

(4)　次の不定積分を求めよ．

(ⅰ)　${\displaystyle \int }x\log x\mathit{dx}$

(ⅱ)　${\displaystyle \int x{(\log x)}^2\mathit{dx}}$

(5)　曲線$y=x{(\log x)}^2$$\text{（}x\geqq 1\text{），}$接線$l\text{，}$および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

【７】　以下の問いに答えよ．ただし，$0$でない複素数$z$に対して，$z^2=1$と定める．

(1)　$\alpha$を$\alpha \ne 0$かつ$\alpha \ne 1$を満たす複素数とする．このとき，次の式が成り立つことを証明せよ．

$1+\alpha +{\alpha }^2+\cdots +{\alpha }^{n-1}$$={\displaystyle \frac{1-{\alpha }^n}{1-\alpha }}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(2)　$2$つの数列$\{x_n\}\text{，}$$\{y_n\}$が$x_1=1\text{，}$$y_1=0$および

$\{\begin{array}{l}{x}_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}_n-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}{y}_n\\ y_{n+1}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}{x}_n+{\displaystyle \frac{1}{4}}{y}_n\end{array}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定められている．また，$i$を虚数単位とし，$z_n=x_n+i{y}_n$とおく．

(ⅰ)　$z_{n+1}=\beta z_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$を満たす複素数$\beta$を求めよ．

(ⅱ)　数列$\{x_n\}\text{，}$$\{y_n\}$の一般項を求めよ．

(ⅲ)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{z}_k$の実部を求めよ．

(ⅳ)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{\cos {\displaystyle \frac{n\pi }{3}}}{2^n}}$を求めよ．

【８】　関数$g(x)$を$g(x)=8x(1-x)$で定める．また，自然数$n$に対して，関数$f_n(x)$$\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$を

$f_1(x)=g(x)$

$f_{n+1}(x)=g(f_n(x))$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定める．さらに，関数$|f(x)|$$\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$の最大値を$a_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$a_1$および$a_2$を求めよ．

(2)　$n$が$2$以上の自然数のとき，次の命題$\mathrm{P}(n)$が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ．

$\mathrm{P}(n)$：$a_n\geqq 2$であり，関数$y=f_n(x)$$\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$の値域は$-a_n\leqq y\leqq 2$である．

(3)　$n$が$2$以上の自然数のとき，$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．

(4)　$n$が$2$以上の自然数のとき，不等式$8{a_n}^2\leqq a_{n+1}\leqq 16{a_n}^2$が成り立つことを示せ．

(5)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log (\log a_n)}{n}}$を求めよ．

志望別問題選択一覧

教育（学校教育教員養成課程数I・数II・数A・数B受験者）工（社会デザインコース），農学部　【１】，【２】，【３】，【４】

教育（学校教育教員養成課程数I・数II・数III・数A・数B受験者）学部　【１】，【３】，【４】，【６】

理，工（環境建設工学科社会デザインコース除く）学部　【３】，【４】，【５】，【６】，【７】

医学部　【３】，【４】，【６】，【７】，【８】