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【2】 円と円と直線がそれぞれ異なる点で接しているとする.との接点をとし,との接点をとする.をととに接する円とする.ただし,との接点は,線分上にあるとする.また,をととに接する円とする.ただし,との接点は,線分上にあるとする.以下同様に,自然数に対し,はととに接する円であり,との接点は線分上にあるとする.の半径をとし,の半径をとするとき,以下の問いに答えなさい.
(1) 線分の長さをを用いて表しなさい.
(2) の半径をとするとき,をを用いて表しなさい.
(3) の半径をとするとき,をを用いて表しなさい.
(4) とがをみたしながら動くとき,の半径の最大値をを用いて表しなさい.また,そのときのの値をを用いて表しなさい.
【3】 図1のように,グラウンドにかかれた四角形を考える.に対し,頂点に生徒が立っているとする.この状態から出発して,自然数に対し,次の試行(*)を回続けて行った後に,生徒が頂点に立っている確率をとする.
(*) 四角形の辺をひとつ選び,その両端に立っている生徒の位置を交換する.ただし,四角形の辺の選び方は同様に確からしいとする.
例えば,図2は,のとき,回目の試行で辺を選び,回目の試行で辺を選んだ後の状態である.以下の問いに答えなさい.
図1
図2
(1) を求めなさい.
(2) とする.このとき,をを用いて表しなさい.ただし,とする.
(3) であることを示しなさい.
(4) をを用いて表しなさい.
(編注)図は簡略化した.