2020　高知工科大学　前期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(1)　方程式$|x-2|=5x$を解け．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(2)　${\displaystyle \frac{3}{7}}$ を小数で表したとき，小数第$20$ 位の数を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(3)　$3$個の数字$1\text{．}$$2\text{．}$$3$を重複を許して使ってできる$4$桁の整数のうち，数字$1$がちょうど$2$回使われるものは何個あるか．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(4)　複素数${\displaystyle \frac{2-3i}{1+2i}}$の虚部を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(5)　$2$点$\mathrm{A}$$(2,4)\text{，}$$\mathrm{B}$$(3,-1)$を通る直線を$l$とする．原点$\mathrm{O}$から直線$l$に垂線を引き，$l$との交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(6)　$\tan {\displaystyle \frac{7}{12}}\pi$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(7)　不等式${\log }_2(x-1)-{\log }_2(2-x)>1$を解け．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(8)　平面ベクトル$\overrightarrow{a}=(7,1)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(5,-5)$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．

【２】　円$O$に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{BC}=6\text{，}$$\mathrm{\angle ABC}=120\mathrm{°}$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$\mathrm{▵ABC}$の面積を求めよ．

(2)　$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．

(3)　円$O$の半径を求めよ．

(4)　点$\mathrm{D}$が点$\mathrm{B}$を含まない方の弧$\mathrm{AC}$上を動くとき，$\mathrm{▵ACD}$の面積の最大値を求めよ．

(5)　$\mathrm{CD}=6$のとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．

【３】　関数$f(x)=x^3+3x^2-2$について，次の各問に答えよ．

(1)　関数$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$の接線で点$\mathrm{A}$$({\displaystyle \frac{1}{3}},-4)$を通る$2$つの接線の方程式および接点の座標をそれぞれ求めよ．

(3)　(2)で求めた接点のうち，$x$座標が小さい方を$\mathrm{B}\text{，}$大きい方を$\mathrm{C}$とする．線分$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{AC}$および曲線$y=f(x)$の$\mathrm{B}$から$\mathrm{C}$までの部分で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(7)　次の極限を求めよ．ただし，極限をもたない場合は「極限なし」と答えよ．

$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{2x-3\sin x}{x}}$

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．ただし，$e$は自然対数の底である．

(8)　次の定積分を求めよ．

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{3}}}{\displaystyle \frac{\cos x}{1+\sin x}}\mathit{dx}$

【３】　関数$f(x)$を$f(x)={\displaystyle \frac{x-1}{1+x^2}}$とする．曲線$y=f(x)$を$C$とし，点$(1,0)$における曲線$C$の接線を$l$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　関数$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　直線$l$の方程式を求めよ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}\mathit{dx}$を求めよ．

(4)　曲線$C$と直線$l$で囲まれた部分の面積を求めよ．