2020　北九州市立大学　後期

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問１　$2$次関数$f(x)=x^2-2(a^2-a)x+a^2$が$0<x<2$で最小値をとるような$a$の値の範囲は，放物線$y=f(x)$の軸が$x=\text{ア}$であることから$\text{イ}$または$\text{ウ}$となる．また，そのときの$f(x)$の最小値は$\text{エ}$である．

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問２　辺$\mathrm{AD}$と辺$\mathrm{BC}$が平行な台形$\mathrm{ABCD}$がある．辺$\mathrm{AD}$の中点を$\mathrm{E}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{F}$とする．いま，辺$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{EF}$が平行になる場合を考える．線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{EF}$の交点を$\mathrm{G}$とし，$\mathrm{▵AEG}$の面積を$S$とする．このとき，$\mathrm{▵CFG}$の面積は$\text{オ}$であり，台形$\mathrm{ABCD}$の面積は$\text{カ}$である．

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問３　$1$個のさいころを繰り返し投げ，出た目を順にかけて積を求めることを考える．さいころを$4$回続けて投げるとき，$4$回目に積が$24$である確率は$\text{キ}$であり，$4$回目にはじめて積が$24$になる確率は$\text{ク}$である．

【２】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値，式などを解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問１　$\mathrm{▵OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$\alpha :(1-\alpha )$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{F}$とし，線分$\mathrm{BD}$と線分$\mathrm{AE}$の交点を$\mathrm{P}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OF}}=\text{サ}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\text{シ}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$である．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\text{ス}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\text{セ}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$である．

(3)　$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{F}$が一直線上にあるとき，$\alpha =\text{ソ}$であり，$\mathrm{OP}:\mathrm{PF}=\text{タ}$である．

【２】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値，式などを解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問２　$100$から$200$までの自然数について考える．

(1)　$4$で割って$3$余る数を小さいものから順に並べた数列の項数は$\text{チ}$であり，第$n$項は$\text{ツ}$（ただし，$n\leqq \text{チと同じ}$）である．

(2)　$3$の倍数の和は$\text{テ}$である．

(3)　$3$の倍数または$5$の倍数である数の和は$\text{ト}$である．

(4)　$3$でも$5$でも割り切れない数の和は$\text{ナ}$である．

【３】　実数の定数$k$の値によって，方程式

$x^5+1-k{(x+1)}^5=0$$\cdots \text{①}$

が何個の実数解をもつかを調べる．以下の問いに答えよ．問１については，空欄に入れるのに適する数値，記号，式などを解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．問２と問３については，答えを導く過程も記すこと．

問１　$x=-1$は方程式$\text{①}$の$1$つの実数解であるから，同式の左辺は

$x^5+1-k{(x+1)}^5=(x+1)\{g(x)-k{(x+1)}^4\}$

と表される．ただし，$g(x)=\text{ハ}$（$x$の$4$次式）である．

　$x=-1$以外の実数解の個数を調べるため，方程式

$g(x)-k{(x+1)}^4=0$$\cdots \text{②}$

@を考える．$x=-1$はこの方程式の解でないから，方程式$\text{②}$は

${\displaystyle \frac{g(x)}{{(x+1)}^4}}=k$

と同値である．ここで，$f(x)={\displaystyle \frac{\text{ハと同じ}}{{(x+1)}^4}}$とすると

$f^{\prime }(x)=\text{ヒ}$

であるから，$f^{\prime }(x)=0$となる実数$x$は$x=\text{フ}$である．また

$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\text{ヘ}$

$\underset{x\to -1}{\lim }f(x)=\text{ホ}$

である．

問２　関数$y=f(x)$の極値を求め，そのグラフを描け．

問３　方程式$\text{①}$の実数解の個数を求めよ．