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2020-13338-0401
2020 慶応義塾大学 経済学部
2月13日実施
易□ 並□ 難□
【1】 a . b . c は条件 a 2+b 2+a⁢ b=c2 , a<b を満たす自然数とする.
(1) a=3 であるとき, c= (1) である.
(2) 和が 21 になる 2 つの自然数の積の最大値は (2) (3) (4) であることから, a+b= 2 であるとき, c= (5) (6) である.
(3) a+b- c=p とおくと, a , b , p は
(a- (7) ⁢p )⁢( b- (8) ⁢p) = (9) ⁢p 2
を満たす.よって, p が 5 以上の素数であるとき,条件を満たす a , b , c の組は全部で (10) 個ある.また, p=7 であるとき, c の値が最小となるのは, a= (11) (12) , b= (13) (14) のときである.
2020-13338-0402
【2】 1 個のさいころを 8 回続けて投げる.ただし,さいころを 1 回投げ終えるごとに,それまでに出た目の合計を記録しておく.
(1) さいころを 3 回投げ終えた時点で,それまでに出た目の合計がちょうど 9 である確率は (15) (16) (17) (18) (19) であり,合計が 12 以上である確率は (20) (21) である.
(2) さいころを 8 回投げ終えるまでの間に,出た目の合計がちょうど 6 になることが起きる確率は, a= (22) , b= (23) , c= (24) , d= (25) とおくと abc d と書ける.
(3) 出た目の合計が初めて 7 以上になった時点で,その値が 12 以上である確率は, e= (26) , f= (27) とおくと aec f と書け,その値がちょうど 9 である確率は, g= (28) , h= (29) , i= (30) , j= (31) とおくと agch - aicj と書ける.ただし, a , c は(2)で求めた値とする.
2020-13338-0403
【3】 数列 {an }, {b n} を, a1= 1, b1= 1 かつ n= 1, 2, 3, ⋯ に対して
a nbn <2 ならば { a n+1= an+ 1 bn+ 1=b n , a nbn ≧2 ならば { an+1 =an bn +1= bn+1 ⋯ ①
で定める.
(1) a3= (32) , b3= (33) , a6= (34) , b6= (35) である.
(2) 一般に,自然数 m に対して
a3⁢ m= (36) ⁢ m+ (37) , b3⁢ m= (38) ⁢m+ (39) ⋯ ②
が成り立つと推測される.この推測が正しいことを次のように確かめる. m=1 のとき ② は成り立つ. m=k のとき ② を仮定すると, ① から
a3⁢ k+1= (40) ⁢k+ (41) , b3⁢ k+1 = (42) ⁢k+ (43)
となる.再び ① から
a3⁢ k+2 = (44) ⁢k+ (45) , b3⁢ k+2 = (46) ⁢k+ (47)
が成り立つ.さらに ① から
a3⁢ k+3 = (48) ⁢k+ (49) , b3⁢ k+3 = (50) ⁢k+ (51)
となるので, m=k+ 1 のときにも ② は成り立つ.
(3) n≧1 に対して S n= ∑k= 1n 10ak とする.自然数 m に対して, s= (52) とおくと S 3⁢m = (53) (54) (55) (56) ⁢( 10s⁢m -1 ) となる.よって, S3⁢ m は (57) ⁢ m+ (58) 桁の整数になる.
2020-13338-0404
【4】 座標空間の原点 O を中心とする半径 1 の球面上に A (0, 0,1 ), B (0, 0,-1 ) と異なる点 C (p, q,r ) をとり, A と C , B と C を通る直線と x ⁣y 平面の交点を,それぞれ P , Q とする.また,座標軸上に 2 点 R ( 12, 0,0 ), S (0, 14 ,0 ) をとる.
(1) P , Q の座標をそれぞれ p , q , r を用いて表せ.
(2) P が線分 RS 上を動くとき, Q の軌跡を x ⁣y 平面上に図示せよ.
(3) P が線分 RS 上を動くとき, ▵ABC の面積の最小値を求めよ.
2020-13338-0405
【5】 実数 α は log 8⁡( 2-α) +log64 ⁡(α +1)= log4⁡ α を満たすとする.また,点 (3 ⁢α, α2 ) に関して,曲線 y =log2 ⁡x 上の点 (x, y) と対称な点を (s, t) とする.
(1) α の値を求めよ
(2) t を s を用いて表せ.
(3) 実数 s , t が s ≦0 , t≧0 および(2)の関係式を満たすとき,
3⁢sin⁡ ( s+t 2⁢ π) +cos⁡( s+ t2 ⁢π)
の最大値と最小値を求めよ.必要ならば 1.5 <43< 1.6 を用いてもよい.
2020-13338-0406
【6】 a を正の定数とする.また, x の 3 次式 f ⁡(x ) は次の条件を満たすとする.
f⁡( 0)= -a2 , f⁡( a)= 0, f′ ⁡(a )=0 , ∫ 0af ⁡(x) ⁢dx= 0
(1) f⁡( x) を求めよ.
(2) 区間 0 ≦x≦1 における f ⁡(x ) の最大値を求めよ.
(3) a=4 のとき, x 軸, y 軸および曲線 y =f⁡( x) で囲まれた 2 つの部分の面積の和を求めよ.